Творческий путь будущего балетмейстера начинался в школьной художественной самодеятельности. Потом Элимбаев учился в культпросвет училище и был солистом ансамбля песни и танца профтехобразования. Этим популярным в республике коллективом он впоследствии (с 1960 по 1964 гг.) руководил. И первые пробы самостоятельных постановок танцев делал именно в эти годы.
В Московском государственном институте театрального искусства на режиссерско-балетмейстерском факультете Элимбаев получил высшее образование. Сразу после института он год занимался балетмейстерской и преподавательской работой в Германии: в Берлинском хореографическом училище и на сценах известных театров — Берлина — Комише опер, Штаатс опер, Фридрихштаатс палас, где Элимбаевым были поставлены два одноактных балета.
С 70-х годов Элимбаев возглавил Чечено-Ингушский государственный ансамбль песни и танца, который он вскоре преобразовал в ансамбль танца “Вайнах”. В этом коллективе по-настоящему раскрылся его балетмейстерский талант. Оригинальные хореографические постановки Элимбаева, такие как «Под небом вайнахов», «Танец чабанов», «Горская легенда», «Танец наездников», «Беноевский перепляс», юмористические танцы «Женатые холостяки» и «Вечеринка» легли в основу гастрольной программы, с которой ансамбль «Вайнах» объездил много стран мира: Мозамбик, Кению, Южную Америку, Турцию, Сирию, Ирак, Иорданию.
Т. Элимбаев — заслуженный деятель искусств РСФСР, народный артист Российской Федерации и ряда других республик, лауреат Государственной премии, международных фестивалей и премии Ленинского комсомола. В настоящее время он руководит Детской академией искусств “Вайнах” имени З. Бажаева в Москве. Дети изучают не только танцы, но и живопись, прикладные искусства. Талант и высокий профессионализм Элимбаева – залог того, что в Детской академии вырастет новое поколение мастеров искусств Чеченской республики.