Задание
По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:
— определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального
ремонта;
— рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;
— определить коэффициент вариации ресурса;
— построить эмпирический закон распределения ресурса;
— подобрать теоретический закон;
— проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;
— определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.
1. Расчет параметров экспериментального распределения
Число классов статистического ряда определяем по формуле (11):
,
где N – общее число наблюдений
Нужна помощь в написании курсовой?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Принимаем 
.
Размах выборки для нашего ряда
Значение классового промежутка находим по формуле (12):
Для удобства вычислений принимаем 
.
Середина классов W – полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.
Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:
где h-принятая точность измерения случайной величины.
Результаты расчетов сведены в таблицу 1.
Таблица 1 — Cоставление статистического ряда
2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения
Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле
(13)
где А — условная средняя, середина модального или близкого к нему класса;
S1 — первая сумма,
а — условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках,
Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле
(14)
где с — сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков,
Нужна помощь в написании курсовой?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
;
S2 – вторая сумма,
Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3.
Таблица 2 — Вспомогательные вычисления для определения 
Таблица 3
3. Определение вида закона распределения случайной величины
распределение экспериментальный случайный величина
Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:
— выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;
— производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям χ2 или λ.
3.1 Экспоненциальный закон распределения
Теоретические частоты для распределения определяют по формуле
,
где 
— экспоненциальная функция, значения которой табулированы;
— условные отклонения середин классов,
.
Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1.
Таблица 4 — Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону
Рисунок 1 — Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения
3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений
Нужна помощь в написании курсовой?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.
Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий χ2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле
где χ02 – стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v;
, 
– эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.
Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:
; 
; 
.
где r1,r2 — числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.
Крайние классы с частотой 
<
объединяют с соседними классами (
– минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы)
Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности β. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований β1 >= 0,999; при обычной β2 >= 0,99; при большой β3 >= 0,95.
Таблица 5 — Определение различий законов распределения
Следовательно, χ02: 13,3; 18,5 при β соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при β=0,99 и 0,999 ответственности испытаний χ2 больше χ02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения.
3.2 Нормальный закон распределения
Таблица 6 — Выравнивание статистического ряда по нормальному закону
Рисунок 2 — Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения
Таблица 7 — Определение различий законов распределения
Следовательно, χ02:11,1; 15,1; 20,5 при β соответственно 0,95, 0,99, 0,999
Нужна помощь в написании курсовой?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Таким образом, при β=0,99 и 0,999 ответственности испытаний χ2 меньше χ02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.
3.3 Распределение Вейбула
Таблица 8 — Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула
Рисунок 3 — Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула
Таблица 9 — Определение различий законов распределения
Следовательно, χ02: 15,1; 20,5 при β соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при β=0,99 и 0,999 ответственности испытаний χ2больше χ02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.
Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.
4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.
Требуется определить ошибку замены параметра X его точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность β (β = 0,9) и определим такое значение ошибки ε > 0, для которого 
.
Это равенство означает, что с вероятностью 
неизвестное значение параметра X попадает в интервал 
.
Интервал 
называется доверительным, а β — доверительной вероятностью.
Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
,
где tβ — коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности β и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tβ= 1,658)
Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Нужна помощь в написании курсовой?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Iβ=(4,812; 5,848)
Вывод:
Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованных источников
Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. — 36 с.
Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. — 14 с.