Курсовая работа на тему «Статистическая обработка данных»

Содержание

Введение

1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке

. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

. Параметрическая оценка функции плотности распределения

. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Заключение

Список использованной литературы

интервальный дисперсия выборочный данные

Введение

Целью данной курсовой работы является изучение и, как в следствии, расширение знаний о математической статистике, ознакомление с методами обработки экспериментального материала, с целью получения надежных выводов, ознакомление с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать курсовую

. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1) Задача:

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

) Цель работы:

Изучить и усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

) Исходные данные.

Проведен эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Данная выборка представлена в таблице 1.1

Таблица 1.1

2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60)

) среднее линейное отклонение

) дисперсия случайной величины Х

) несмещенная оценка дисперсии

5) среднеквадратическое отклонение

=

6) несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

7) коэффициент вариации

) коэффициент асимметрии случайной величины Х

9) коэффициент эксцесса случайной величины Х

10) вариационный размах

= Xmax — Xmin = 17,3345- 6,9275= 10,407

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

Выполняется необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V =  < 33%

Отсюда следует, что не все выборочные значения случайной величины Х положительны, что мы и видим в исходных данных.

Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю и составляет As = 0,22481644

В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что «длинная часть» кривой расположена справа от математического ожидания.

Коэффициент эксцесса так же как и коэффициент асимметрии близок к нулю, так как Е = . Он отрицательный, значит, кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

3.Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Где а = М[X] — математическое ожидание

N — 1 = V = 59 — число степеней свободы

tv;p — величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения ,  и N.

Задаемся доверительной вероятностью:

Р1 = 0,95 Р2 = 0,99

Для каждого значения Рi (i=1,2) находим по таблице значения t59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р1 = 0,95 t59;0,95 = 2

При Р2 = 0,99 t59;0,95 = 2,66

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство известные значения  и N, получим неравенство, в котором неизвестны  и .

Задаваясь доверительной вероятностью Рi (или уровнем значимости а) вычисляем значения  и . Используем эти два значения и степень свободы V = N — 1 = 59, по таблице находим  и .

 =  =   =  =

 и  — это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая  (хи-квадрат) распределение вероятности Рi и заданной степени свободы V (V=59).

Для Р1 = 0,95  и

находим по таблице:  =  = 40,4817

 =  = 83,2976

Подставляя в неравенства  и  и, вычисляя, получим интервальную оценку.

При Р2 = 0,99  и

 =  = 91,9517

Поставляя в неравенства  и  , и вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р1 = 0,95

При Р2 = 0,99

4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х, которые представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать курсовую

Ранжированный ряд

Интервал [6,9275; 17,3345], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчетов выбираем h = 1,5 и вычисляем последовательно границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение:

Далее вычисляем границы интервалов.

 = 6,1775 + 1,5 = 7,6775

 = 7,6775 + 1,5 = 9,1775

 = 9,1775+ 1,5 = 10,6775

 = 10,1775+ 1,5 = 12,1775

 = 12,1775+ 1,5 = 13,6775

 = 13,6775+ 1,5 = 15,1775

 = 15,1775+ 1,5 = 16,6775

 = 16,6775+ 1,5 = 18,1775

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство Xn > Xmax, то есть X8 = 18,1775> Xmax = 17,3345.

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой графе таблицы помещаем частичные интервалы, во второй графе — середины интервалов, в третьей графе записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал — частоты, в четвертой графе записаны относительные частоты и в пятой графе записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности. Данная информация представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Значение выборочной функции и плотности

h	ni3
[6,1775; 7,6775)	6,9275	3	0,05	0,033	33
[7,6775; 9,1775)	8,4275	6	0,1	0,067	67
[9,1775; 10,6775)	9,9275	12	0,2	0,133	133
[10,6775; 12,1775)	11,4275	17	0,283	0,189	189
[12,1775; 13,6775)	12,9275	14	0,233	0,156	156
[13,6775; 15,1775)	14,4275	4	0,067	0,044	44
[15,1775; 16,6775)	15,9275	3	0,05	0,033	33
[16,6775; 18,1775)	17,4275	1	0,016	0,011

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 4.2., можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестности точки х = 11,4275 и с частотой по n = 17.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд:

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать курсовую

Так как N = 2k, k = N / 2 = 60 / 2 = 30

Сравнение оценок медианы  и оценки математического ожидания  показывает, что они отличаются на 1,34 %.

. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдем параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

Где  и  известны — они вычисляются по выборке.

= 2,1976676 = 11,4634

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения  для i = 1,2,…, k, затем по таблице значений функций плотности стандартной нормальной величины находим значение .

 =0,0478

 =0,1539

 =0,3123

 =0,3989

 =0,3187

 =0,1604

 =0,0508

 =0,0101

Переходим к вычислению функции:

 0,022

Функция , вычисленная при заданных параметрах  и  в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

 где h = 1,5

 где N = 60

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 5.2.

Из полученных результатов проведенных вычислений следует, что сумма вероятностей в интервале [6,1775; 18,1775) почти равна единице, а сумма всех частот равна 59,61. Данные результаты объясняются тем, что мы вычисляем вероятности в интервале, где заданы экспериментальные данные.

Сравнение экспериментальных и теоретических частот по критерию Пирсона с целью проверки гипотезы о нормальном распределении возможно только в том случае, если для каждого частичного интервала выполняется условие . Представленные в таблице 5.2 результаты вычислений показывают, что это условие выполняется не всегда. Поэтому все те частичные интервалы, для которых частоты , объединяем с соседними. Соответственно объединяем и экспериментальные частоты .

Таблица 5.1

0,0330,0670,1330,1890,1560,0440,0330,011
0,0220,070,1420,1820,1450,0730,0230,005

Рис. 1. График. Теоретическая и экспериментальная плотности вероятности.

Таблица 5.2

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

[xi-1; xi)
[6,1775; 7,6775)	3	6,9275	0,05	0,033	-2,064	0,022	0,033	1,98	2
[7,6775; 9,1775)	6	8,4275	0,1	0,067	-1,38	0,07	0,105	6,3	6
[9,1775; 10,6775)	12	9,9275	0,2	-0,7	0,142	0,213	12,78	13
[10,6775; 12,1775)	17	11,4275	0,283	0,189	-0,016	0,182	0,273	16,38	16
[12,1775; 13,6775)	14	12,9275	0,233	0,156	0,67	0,145	0,2175	13,05	13
[13,6775; 15,1775)	4	14,4275	0,067	0,044	1,35	0,073	0,1095	6,57	7
[15,1775; 16,6775)	3	15,9275	0,05	0,033	2,03	0,023	0,035	2,1	2
[16,6775; 18,1775)	1	17,4275	0,016	0,011	2,71	0,005	0,0075	0,45	1
Σ			0,999				0,9935	59,61

. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика  имеет распределение с V = k — r — 1 степенями свободы, где k — число интервалов эмпирического распределения, r — число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V=k -3

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать курсовую

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ≥ 50  ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие  ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k-3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а1 = 0,01; а2 = 0,1; а3 = 0,005.

Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.

Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения  при числе степеней свободы V= k-3, где k — число групп эмпирического распределения.

Сравниваем фактически наблюдаемое  с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

если  > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

Если  < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[6,1775; 9,1775)	0,138	8,28	9	0,5184	0,0626
[9,1775; 10,6775)	0,213	12,78	12	0,6084	0,0476
[10,6775; 12,1775)	0,273	16,38	17	0,3844	0,0235
[12,1775; 13,6775)	0,2175	13,05	14	0,9025	0,0692
[13,6775; 18,1775)	0,152	9,12	8	1,2544	0,1375
Σ	0,9935	59,61	600,3404

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.

По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим  = 5,99147.

В результате получаем:

Для = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:

= 0,3404<  = 5,99147

Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.

Заключение

Статистические методы (методы, основанные на использовании математической статистики), являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых явлений (объектов, процессов) в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена курсовой

Статистические методы контроля производства и качества продукции имеют ряд преимуществ перед другими методами:

— являются профилактическими;

— позволяют во многих случаях обоснованно перейти к выборочному контролю и тем самым снизить трудоемкость контрольных операций;

— создают условия для наглядного изображения динамики изменения качества продукции и настроенности процесса производства, что позволяет своевременно принимать меры к предупреждению брака не только контролерам, но и работникам цеха — рабочим, бригадирам, технологам, наладчикам, мастерам.

Список использованной литературы

1) Статистическая обработка результатов выборочного контроля: Метод.рек./Сост.: Ю. Г. Сильвестров: СибГИУ.- Новокузнецк, 2010 -41 с.

) Статистическое управление процессами при помощи контрольных карт: Метод.рек. /Сост.: Ю. Г. Сильвестров: ГОУ ВПО «СибГИУ». — Новокузнецк, 2014 — 17 с.

) ГОСТ Р 50779.42-99. Статистические методы. Контрольные карты Шухарта [Текст]. — : Издательство стандартов, 2007. — 36 с.