Научная статья на тему «Аналитические функции обобщенного комплексного переменного и некоторые приложения»

Аннотация. Целью данного направления является применение функции обобщенного комплексного переменного к задачам гидродинамики и теории упругости. В этой работе для таких функций получены условия Коши-Римана и соответственно обобщенное уравнение Лапласа. Получена обобщенная формула Пуассона.

Скачать пример Заказать работу Скачать пример Заказать работу

abstract

The object of this work is the use of generalized functions of a complex variable to solve the problems of fluid dynamics and elasticity theory. In this paper for this kind of functions we obtained Cauchy-Riemann conditions and, accordingly, the generalized Laplace equation and the generalized Poisson formula.

Ключевые слова: условия Коши-Римана; обобщенное уравнение Лапласа; формула Пуассона.

Keywords: Cauchy-Riemann conditions; generalized Laplace equation; Poisson formula.

Введение

Обобщенные комплексные числа делятся на типы [1]. А именно, различают эллиптические, гиперболические и параболические комплексные числа. Это означает следующее. Пусть обобщенное комплексное число и , где — вещественные числа. Тогда числа делятся на указанные типы в зависимости от того, какими являются . Если , то такие обобщенные комплексные числа относятся к эллиптическому типу, если же — то к гиперболическому, если — параболическому типу.

Если взять , то мы получим обычные комплексные числа. Если , то мы получим двойные числа. Если , то получим дуальные числа.

В данной работе теория аналитических функций обобщенного комплексного переменного , удовлетворяющих системе уравнений Коши-Римана :

, , (1)

которая по существу эквивалентна уравнению Лапласа

. (2)

Аналогично для мнимой части функции имеем

. (3)

Эквивалентность условий Коши-Римана и условия

Пусть дана функция . Переменные и легко выразить через и :

где . Поэтому функцию формально можно рассматривать как функцию двух переменных и . Найдем . Для этого рассмотрим дифференциальные операторы

, (4)

, (5)

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

которые обладают следующим свойством:

Поэтому однозначно определены операторы вида

В частности при , имеем

(6)

где .

В случае когда ; обобщенный бигармонический оператор записывается в виде:

, (7)

Отсюда при как следствие получим обычный бигармонический оператор

Здесь и , т.е. .

Теорема. Условия Коши-Римана и эквивалентны.

Если , то . Отсюда следует справедливость условий Коши-Римана

Нужна помощь в написании статьи?

Заказать статью

В общем случае интеграл, здесь зависит от формы пути. Выясним условия, при которых интеграл от формы пути не зависит. Ответ на этот вопрос содержится в следующий теореме.

Теорема Коши. Если функция обобщенно-аналитическая в односвязной области , то интеграл от этой функции вдоль всякого замкнутого кусочно-гладкого контура , целиком лежащего в , равен нулю.

Доказательство. Пусть — аналитическая в области функция. Имеем

Из условия Коши-Римана следует, что . Это условие и непрерывности функций достаточно для обращения интегралов в нуль.

Условия Коши-Римана в полярных координатах

От алгебраической формы обобщенного комплексного числа переходим к его показательно-тригонометрической форме

где

(9)

В частности при имеем: ; отсюда получаем формулу Эйлера .

Теперь учитывая формулу связи между декартовыми и обобщенно полярными координатами точки на плоскости запишем: , , где .

Некоторые вычисления необходимые в дальнейшем. Пусть

Тогда и . Из последних двух равенств по формулам вычисления частных производных сложной функции двух переменных находим

Нужна помощь в написании статьи?

Цена статьи

, ,

, .

Отсюда , , где .

Чтобы написать условия Коши-Римана в полярных координатах, вводим следующий дифференциальный оператор

Тогда условия Коши-Римана можно записать в виде и оно эквивалентно следующей системе.

(10)

В частности имеем при имеем , .

Далее (10) запишем в компактной форме. Для этого систему (10) решим относительно .

, ,

, .

Аналогично решая систему (10) относительно . Имеем

, ,

которые по существу эквивалентны уравнению Лапласа записанному в обобщенной полярной системе координат

(11)

где .

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

Рассмотрим ряд примеров

Пример 1. Функция , где — расстояние между точками и обобщенной плоскости , т.е. является гармонической в любой области обобщенной плоскости , не содержащей точку .

Решение. Для удобства вычисления расстояние между точками представим в следующем виде

Отсюда , , , , . Тогда для функции , имеем:

и .

Подставляя найденные значения производных и в уравнение Лапласа получим

во всех точках обобщенной плоскости , за исключением точки , так как , .

Таким образом, функция является решением уравнения Лапласа на обобщенной плоскости за исключением точки где она обращается в .

Пример 2. Решение задачи Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа

Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием Дирихле

в области с границей

;

Нужна помощь в написании статьи?

Заказать статью

где — вещественные управляющие параметры. Здесь

Задача Дирихле. Найти в области функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

, (12)

, (13)

(14)

где: — заданная функция; будем считать, что ,

В области перейдем к обобщенно полярным координатам , . Тогда уравнение (13) в полярных координатах имеем вид (см. 11)

. (15)

Решение уравнения (15) будем искать в виде произведения двух функций.

в (16)

Подставляя предполагаемую форму решения (16) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим

Отсюда следует, что функция должна быть найдена из решения уравнения

, (17)

а для функции получим задачу на собственные значения

Нужна помощь в написании статьи?

Цена статьи

(18)

Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения по угловой переменной с периодом . Это возможно только в том случае, когда и когда — целое. Тогда общее решение дифференциального уравнения (18) определяется по формуле

где и — произвольные постоянные.

Уравнение (17) при имеет два линейно независимых решения

где . Так как частные решения уравнения (17) при ищем в виде степенной функции . Подставив эту функцию в уравнение (17) установим, что показатель степени определяется из уравнения

, т.е. .

Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограничено в рассматриваемой области при . Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь

Таким образом, согласно (16) частные решения уравнения (15) можно записать так:

В силу линейности и однородности уравнения (15) суперпозиция частных решений

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

, (19)

также будет удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, ряд (19) внутри области является гармонической функцией. Из общего курса известно, что ряд (19) сходится равномерно на . Тогда удовлетворяя ряд (19) граничному условию (14), получим

или

. (20)

Ряд (20) представляет собой разложение в ряд Фурье функции на промежутке . Тогда коэффициенты и определяются по формулам:

, (21)

. (22)

Теорема. Если функция и , то существует единственное решение задачи Дирихле в области , которое определяется рядом (19).

Формула Пуассона

Преобразуем ряд (19) с учетом выражений (21) и (22):

(23)

Учитывая обобщенную формулу Эйлера (9), имеем:

Нужна помощь в написании статьи?

Цена статьи

Найдем сумму ряда

(24)

Тогда, подставляя (24) в (23), найдем формулу

, (25)

которая называется формулой Пуассона.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. в случае, когда формулу (9) можно записать в виде

. (26)

Тогда . Отсюда

, ;

так как и . Последний интеграл можно переписать в виде

Нужна помощь в написании статьи?

Цена статьи

Здесь и . Таким образом

Из разложения экспоненты (26), имеем следующее соотношения: , . Применим эти соотношения

Далее параметры заменим через параметры и , и имеем:

Теперь не трудно вычислить искомый интеграл, используя полученные выше результаты.

Интегрирование по частям приводит к понижению степени под интегралом.

Действительно,

Список литературы:

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. — 416 с.

Сагиндыков Б.Ж., Бимурат Жанар. Обобщенная комплексная экспонента и ее применения для отыскания суммы // Естественные и математические науки: вопросы и тенденции развития. 2013. г. Новосибирск, — с. 7—15.

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

Предыдущий пример

Следующий пример