Научная статья на тему «Анализ точности интегрирования функций отклонения при эрмитовой интерполяции»

АННОТАЦИЯ. Решена задача интегрирования функции отклонения светового пучка, зондирующего волоконный световод с использованием эрмитовой интерполяции. Решение получено с использованием аппарата сплайн-функций. Приведены оценки точности интерполяции.

Скачать пример Заказать работу Скачать пример Заказать работу

ABSTRACT

The integration problem of a deviation function of a light beam probing a fiber-light guide using Hermitian interpolation has been solved. The solution has been made with a help of spline function means. Estimations about interpolation accuracy are given.

Ключевые слова: эрмитова интерполяция, волоконный световод, функции отклонения, рефракция.

Keywords: Hermitian interpolation; fiber-light guide; deviation functions; refraction.

В ряде работ [1, с. 14, 2, с. 227] показано, что по сравнению с другими математическими конструкциями сплайны обладают важными преимуществами: лучшими аппроксимативными свойствами, что при равных информационных затратах дает большую или равную точность при менее информативных исходных данных; простотой реализации полученных на их основе алгоритмов на ЭВМ; универсальностью, позволяющей использовать одни и те же аппроксимирующие конструкции для различных математических объектов.

Сплайн-функция — это определенная в области кусочно-полиномиальная функция, т. е. функция, для которой существует разбиение на подобласти такое, что внутри каждого элемента разбиения функция представляет собой многочлен некоторой степени .

Кубические сплайны. Пусть на задана непрерывная функция и сетка узлов , тогда , .

Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции и данной сетке узлов , называется функция , удовлетворяющая следующим условиям: на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени; функция является многочленом третьей степени; функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на ; .

Сплайн на каждом из отрезков определяется четырьмя коэффициентами, а на всем отрезке – коэффициентами. Условие его непрерывности и непрерывности его первой и второй производных в узлах , сетки дает уравнения для неизвестных коэффициентов.

Два дополнительных соотношения задают в виде граничных условий, наиболее употребительными из которых являются:

	(1)

Построение сплайна. На каждом из отрезков кубический сплайн имеет вид:

(2)

где: — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Первая, вторая, третья производные имеют вид:

	(3)
	(4)
	(5)

Отсюда при

Условие интерполирования дает

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

(6)

Выражение (5) доопределяется условием при . Требование непрерывности функции приводит к условиям

Отсюда с учетом (1) получается

Обозначим — шаг интерполяции, и полученное выражение переписывается в виде:

(7)

Требование непрерывности первой производной сплайна дает уравнение

(8)

Из условия непрерывности второй производной получается

(9)

Уравнения (6)—(9) составляют систему уравнений относительно коэффициентов . Два недостающих уравнения задают граничными условиями для или производных

Интеграл эрмитова сплайна на отрезке интерполяции для непрерывной конечной функции имеет вид:

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

(10)

Эрмитов сплайн на участке между узлами интерполяции представляет собой кубическую параболу. Коэффициенты , определяются по формулам и , где .

Звено эрмитова сплайна имеет вид:

Интегрируя это выражение, получается:

(11)

Полный интеграл интерполянта на отрезке получается путем суммирования (11):

	(12)
В случае постоянного шага интерполяции

выражение (12) принимает вид

(13)

Подставляя в (13) значения и , получается:

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

(14)

Таким образом, интеграл эрмитова сплайна непрерывной конечной функции на отрезке определяется шагом интерполяции , значениями функции в узлах интерполяции , и значением производной функции в точках , .

Оценка точности интегрирования при интерполяции сплайнами. На рис.1 показаны графики характерной функции , определяющей прохождение луча через световод, эрмитова сплайна для функции и ошибки интерполяции . Кривые построены для функции

(15)

Рисунок 1. Графики функции , определяющей прохождение луча через световод, эрмитова сплайна для функции и ошибки интерполяции

В табл. 1 приведены значения , и на Ошибка интерполяции сплайна оцениваются формулой

, h — шаг интерполяции, которая используется для вычисления количества секторов интерполяции , если задана точность интерполяции

(16)

Таблица 1.

Результаты расчета погрешности интерполяции

Естественно, что с увеличением числа повышается точность интегрирования В табл.2 показана зависимость ошибки интегрирования функции на от количества узлов

Таблица 2.

Результаты расчета зависимости погрешности интегрирования от количества узлов

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

Ошибка равна

(17)

где вычисляется по формуле (14), а интеграл

(18)

Если один из пределов интегрирования является особой точкой, то построения сплайна одновременно на всем интервале затруднительно. В случае, когда быстро изменяется, вычисление по формуле (16) не рационально. Порядок четвертой производной функции, определяемый показателем преломления световода, изменяется от двух до 50 и более. Очевидно, что разбиение интервала на подинтервалы, внутри которых шаг интерполяции постоянен, следует выполнять в зависимости от характера поведения .

Исследование зависимости точности интеграла типа (15) с особой точкой в одном из пределов интегрирования от коэффициента деления на подинтервалы показало, что особая точка . Интеграл интегрирования ] разбивался на подинтервалы где ,

Таким образом, с увеличением (при ), а значит и уменьшается подинтервал примерно в раз. Количество зон интерполяции на каждом из подинтервалов определяется по (16). Если интеграл сплайна на очередном подинтервале отвечает условию

где: — точность интегрирования, то определяются границы следующего подинтервала и процесс продолжается. Вычисления прекращаются при

При вычислении используются формулы производных (15)—(17), а также

(19)

Поскольку в модельной функции , то

Результаты модельных исследований зависимости точности интегрирования от , , приведены в таблицах 3 и 4, из которых видно, что для получения точности 0,0001 оптимальными параметрами являются

(20)

Описанная методика может быть использована при решении прямой задачи рефракции световода с произвольным профилем его показателя преломления, например, с обобщенно-параболическим


Обозначив ,
получается



где ,

Таблица 3.

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

Результаты модельных исследований зависимости точности интегрирования от , ,

Таблица 4.

Результаты модельных исследований зависимости точности интегрирования от , ,

Параметры , аналогичны (20). Полученные значения угла рефракции для точек входа и полностью совпадают с теми значениями угла рефракции, которые получены с использованием метода Симпсона. Однако время счета увеличивается примерно в 1,5 раза.