ABSTRACT
The aim of this paper is to construct a uniform asymptotic solution of the Dirichlet problem for the bisingularly perturbed elliptic equation in a circle. The corresponding unperturbed equation has a multiple turning point within the circle. A generalized method of boundary functions has been applied. The proposed method is analog of the boundary functions. The uniform asymptotic solution of the problem was constructed.
Ключевые слова: асимптотика; точка поворота; задача Дирихле; погранфункций; эллиптические уравнения; асимптотический ряд; уравнение Гельмгольца.
Keywords: asymptotic; turning point; the Dirichlet problem; boundary functions; elliptic equations; asymptotic series; Helmholtz equation.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ по проекту № 13-01-90903 мол_ин_нр
Постановка задачи. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения
eDrfu–rn u=f(r,f), (r,f)ÎD={(r,f)|0£f<2p, 0£r<1}, (1)
u(1,f,e)=0, (2)
где 
, u=u(r,f,e), 
, 0<e<<1 — малый параметр.
Аналогичные задачи к задаче (1)—(2), методом сращивания, рассмотрены в работах [1], [4], [5] и в цитируемых в этих работах. А в работе [3] рассмотрен случай n=1.
Как и раньше, чтобы убедится, что решение соответствующего невозмущенного уравнения имеет особенность, рассмотрим структуру внешнего разложения решения задачи (1), которое ищем в виде:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
, (3)
где: V — это пока формальный ряд. Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях e, получим рекуррентную систему уравнений: –rnv0(r,f)=f(r,f), rnvk(r,f)=Drfvk–1(r,f), kÎN.
Отсюда определяются все 
:
v0(r,f) = –f(r,f)/rn, vk(r,f)=Drfvk–1(r,f)/rn, kÎN.
Заметим, что при r=0 все эти функции vk(r,f) имеют нарастающие особенности:
vk(r,f)=О(1/rn+k(n+2)), k=0,1,2,… .
Поэтому задача (1)-(2) является бисингулярной. В окрестности r=0, имеем:
, при e®0,
где 
, k=1,2,… .
В окрестности r=0 ряд (3) не только не приближает решение u(r,f,e), но даже теряет асимптотический характер.
Построение ФАР решения. Решение задачи (1)-(2) будем искать в виде:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
u(r,f,e)=
+v0(r,f)+p0(h,f2)+R(r,f), (4)
где h=(1–r)/e1/2, e=mn+2, t=r/m.
Учитывая граничное условие (2) имеем:
u(1,f,e)=
+v0(1,f)+p0(0,f2)+R(1,f)=0,
wk(1/m,f)=0, k= –n,–n+1,…,–1; (5)
p0(0,f2)=–v0(1,f), (6)
R(1,f)=0. (7)
Подставляя (4) в (1) получим:
eDrfv0–rnv0+
+eDhfp0–(1–e1/2h)np0+
+eDrfR–rnR =f(r,f)–H(r,f)+H(mt,f), (8)
где
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
,
.
Здесь мы в правую часть уравнения прибавили и убавили одну и ту же функцию Н(r,f), которую определим ниже.
Из равенства (8) получим:
eDrfv0–rnv0+ +(
–p0)+О(e1/2)+
+eDrfR–rnR=f(r,f)–H(r,f)+H(tm,f).
Отсюда, учитывая (5)—(7) получим:
–rnv0=f(r,f)–H(r,f); (9)
= H(tm,f), wk(1/m,f)=0, k= –n,–n+1,…,–1; (10)
–p0=0, p0(0,f2)=–v0(1,f); (11)
eDrfR–rnR =О(e1/2)– eDrfv0, R(1,f)=0. (12)
Из равенства (9) определяем v0(r, f): v0(r,f)= –(f(r,f)–H0(r,f))/rn.
Определим неизвестную функцию Н(r,f) так чтобы v0(r,f)ÎC¥(
). Значит, H(r,f)=
.
Следовательно,
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
v0(r,f)= –
. (13)
Задачу (10) запишем в следующем в виде:
= 
, wk(1/m,f)=0.
Приравнивая по степеням m, получим:
, wk(1/m,f)=0, k= –n,–n+1,…,–1. (14)
Уравнение 
приводим к неоднородному уравнению Гельмгольца. Пусть 
, 
. Вычисляя соответствующие производные и подставляя их в уравнение
,
получим: 
.
Отсюда, при a=(n+2)/2 имеем: 
.
Так как 
, 
, то 
, отсюда следует, что 
.
Следовательно,
. (15)
При –¥<h<¥, –¥<x<¥, уравнение (15) имеет единственное решение [2]:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
, (16)
где: 
, K0(r) — функция Макдональда (моди-фицированная функция Бесселя).
Асимптотику решения задачи (14) при t®¥, ищем в виде
(17)
Подставляя (17) в (14) имеем:
Отсюда
при k= –n: aj(f)º0, j=0,1,..,n–1, an(f)= –f0(f),…;
при k= –n+1: aj(f)º0, j=0,1,..,n–2, an–1(f)= –f1(f),…;
…
при k= –1: a0(f)º0, a1(f)= –fn–1(f),… .
Следовательно, справедливы равенства:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
,
,
т. е. 
, при t®¥, j=0,1,2,…,n–1.
Для «k, wk(t, f)®0 при t®¥; wk(t, f)ÎС¥(
), k=–n,–n+1,…,–1.
Задача (11) имеет единственное решение представимое в виде:
, (18)
.
Оценка остаточного члена R(r,f). Задачу (12) запишем в виде
eDrfR–rnR = О(e1/2), R(1,f)=0.
Пусть R(r,f)=O(e1/2)Z(r,f)/mn, m=e1/(n+2), r=mt, тогда
DtfZ–tnZ=1, Z(1/m,f)=0.
Учитывая решение задачи (14) имеем:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Z(r,f)=О(1), Z(1/m,f)=O(1/tn), при m®0, t®¥.
Отсюда следует, что |R(r,f)|=O(en/(2n+4)).
Нами доказана
Теорема. Если f(r,f)ÎC¥(
), f (0,0)≠0, тогда для решения задачи (1)-(2) справедливо асимптотическое разложение
, при e®0,
где: v0, wk,, p0 — функции, определяемые из равенств (13), (16), (18).
Список литературы:
1.Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. — 334 с.
2.Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с.
3.Турсунов Д.А. Аналог метода погранфункции для бисингулярно возмущенного эллиптического уравнения // Сб. научн.трудов X межд.науч.конф. Молод. учен. «Перспективы развития фунд-х наук» Россия, Томск, 2013. — С. 623—626.
4.Eckhaus W., Boundary Layers in Linear Elliptic Singular Perturbation Problems, SIAM Review, — Vol. 14, — № 2 (Apr., 1972), — pp. 225—270.
5.Shagi-di Shih and r. Bruce Кellogg, Asymptotic analysis of a singular perturbation problem, SIAM J. Math. Anal. — Vol. 18, — № 5, (Sept 1987), — pp. 1467—1511.