ABSTRACT
Article is devoted to the proof of existence of solution of Volterra integral equation of the first kind with the function of Legendre in the kernel.
Ключевые слова: интегральное уравнение Вольтерра; функция Лежандра в ядре.
Keywords: Volterra integral equation; function of Legendre in the kernel.
В работе [2] было доказана единственность решения интегрального уравнения
где 
, 
— функция Лежандра [1, гл. 3]. Используя связь между функциями Лежандра и гипергеометрической функцией Гаусса [1, гл. 2], уравнение (1) было сведено к уравнению
где 
, 
. Воздействуя на уравнение (2) специально подобранным интегральным оператором, была получена формула
где 
— гипергеометрическая функция двух переменных, введенная профессором В.Ф. Волкодавовым [3].
Тем самым была доказана единственность решения уравнения (1). Перейдем к доказательству существования решения уравнения (1). Для этого подставим функцию 
, определяемую формулой (3), в левую часть уравнения (2). Получим
где
В выражении для 
функцию Гаусса разложим в степенной ряд по 
, а функцию
— 
и 
и поменяем порядок интегрирования и суммирований, будем иметь
Вычислим последний интеграл с помощью подстановки 
и запишем выражение для в виде
После применения к функции Гаусса формулы Больца (4) [1, п. 2.9] получим
Разложим полученную функцию Гаусса в степенной ряд по k, поменяем порядки суммирований и воспользуемся представлением функции 
в виде суммы двойного ряда (6) [1, п. 5.7]:
К функции 
применим формулу вырождения (11) [1, п. 5.10] и учтем, что 
Тогда в силу формулы (4) [1, п. 2.8] окончательно
Приступим к вычислению 
. В повторном интеграле изменим порядок интегрирования, разложим гипергеометрические функции в степенные ряды и поменяем порядки интегрирования и суммирований. После вычисления получившегося внутреннего интеграла с помощью замены переменной 
имеем
К функции Гаусса применим формулу Больца (4) [1, п. 2.9], полученную функцию Гаусса разложим в степенной ряд по n и поменяем порядки суммирований:
Учитывая формулу (11) [1, п. 5.10] и то, что 
, получаем
или в силу формулы (4) [1, п. 2.8] окончательно имеем
С учетом найденного выражение для становится следующим:
Подставляя (5) и (6) в правую часть равенства (4), убеждаемся, что функция (3) действительно обращает уравнение (2) в тождество.
Возвращаясь в (3) к первоначальным обозначениям, получаем формулу обращения для интегрального уравнения (1):
Список литературы:
1.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. — 295 с.
2.Вагапов В.З. Доказательство единственности решения интегрального уравнения Вольтерра с функцией Лежандра в ядре // «Современная наука: актуальные проблемы и их решения»: сборник научных статей XIV Международной научной конференции. Липецк: ООО «Максимал информационные технологии», 2015. — С. 6—12.
3.Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Об одной специальной функции двух аргументов, встречающейся при решении краевых задач // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений. Куйбышев: Куйбыш. гос. ун-т, 1986. — С. 42—46.