Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Двойные и повторные интегралы»

В статье [3] нами были рассмотрены условия допустимости предельного перехода под знаком интеграла и условия допустимости дифференцирования под знаком интеграла. Для повторного же интеграла рассматривать в качестве параметра переменную, по которой осуществляется внешнее интегрирование, не имеет смысла.

Помощь в написании статьи

Интегралы с параметрами можно интегрировать по точкам неравномерности, к примеру

1) Рассмотрим двойной интеграл, заданный в области

Повторные интегралы равны

однако предельный переход под знаком интеграла недопустим

т. к. не выполнено условие теоремы 14 [3]

 

2) Рассмотрим двойной интеграл, заданный в области

Повторные интегралы равны

однако предельный переход под знаком интеграла недопустим

т. к. не выполнено условие теоремы 14 [3]

Рассмотрим более общий вопрос: какого условие равенства повторных интегралов двойному?

В существующей практике принято рассматривать абсолютно сходящиеся двойные и повторные интегралы. Достаточным условием их равенства является абсолютная сходимость последних

Как, было сказано, данное условие является достаточным, но не необходимым. Вопрос же о сходимости повторных интегралов к двойному, в случае их неабсолютной сходимости, остается открытым. Повторные интегралы рассмотрим со следующей точки зрения:

первый повторный интеграл

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

и второй повторный интеграл

Здесь возникает еще один вопрос: существует ли двойной интеграл и чему он равен, если повторные интегралы не равны друг другу?

Как было показано выше, понятие повторных интегралов тесно связано с понятием повторных пределов. Так же понятие двойного интеграла связано с понятием двойного предела. Значение двойного интеграла, заданного в некоторой прямоугольной области , может быть вычислено непосредственно по следующим формулам, причем даже в случае

В частности, для абсолютно сходящихся интегралов, получаем формулу Ньютона-Лейбница для двойных интегралов

3) Рассмотрим двойной несобственный интеграл второго рода, сходящийся не абсолютно, заданный в области

Значения повторных интегралов не равны

Первообразные функции, полученные при разном порядке интегрирования равны между собой и равны

Непосредственно вычисляя двойной интеграл получаем

Отсюда следует, что данный двойной интеграл сходится ко второму повторному интегралу .

4) Рассмотрим двойной несобственный интеграл первого рода, сходящийся не абсолютно, заданный в области

Первообразные функции, полученные при разном порядке интегрирования, не равны между собой

и то есть оба повторных интеграла должны быть равны одновременно, чего на деле быть не может. Из неравенства первообразных функций следует, что повторных интегралов не существует.

Вычислим значение двойного интеграла непосредственно для

И для

Интегрируемая функция кососимметрическая [1], поэтому двойной интеграл сходится к нулю. Для обеих первообразных получаем

И при переходе к полярным координатам

Фихтенгольцем были вычислены значения этих повторных интегралов по общему правилу для абсолютно сходящихся интегралов [4, c. 739]

Эти значения им можно приписать только в качестве обобщенных значений этих интегралов.

Отметим интересный факт

Значение двойного интеграла равно сумме обобщенных значений повторных интегралов.

5) Рассмотрим двойной несобственный интеграл первого рода, сходящийся не абсолютно, заданный в области ,

Первообразные функции, полученные при разном порядке интегрирования, не равны между собой

Вычислим значение двойного интеграла непосредственно для

Учитывая то, что интегрируемая функция кососимметрическая [1], получаем

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Отсюда, переходя к полярным координатам, для приходим к такому же результату

Список литературы:

1.Корнеев А.А., Дорошкевич О.А. Разложение двойных и тройных интегралов по бесконечным диагоналям // Тенденции развития естественных и математических наук: мат-лы межданар. науч.-практ. конф.: 28 апреля 2013 г.

2.Корнеев А.А., Дорошкевич О.А. Теория предельных функций // Вопросы естественных и математических наук: мат-лы междунар. науч.-практ. конф.

3.Корнеев А.А., Дорошкевич О.А. Интегралы с параметом // Вопросы естественных и математических наук: мат-лы междунар. науч.-практ. конф.

4.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 т. Т. 2. — 9-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 800 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная книга).

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

492

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке