Для H-,X-,L-подрасслоений найдены их фокальные многообразия, а также поля нормализаций и пучки нормалей 1-го и 2-го рода Нордена в дифференциальной окрестности 1-го порядка. Изучение H(L)-распределений актуально, так как теорию H(L)-распределений можно применить для изучения торсовых поверхностей, регулярных одномерных гиперполос, а также специальных классов гиперполос и гиперповерхностей афинного пространства. Работа выполнена методом Лаптева Г.Ф. [3]. В работе индексы принимают значения:
ABSTRACT
Given the task of H(L)-distribution in the frame of zero order and datum of the 1st order. Permission ratio Bompiani — Pantazi between the normals of the 1st and 2nd kind of major structural subbundles of H(L)-Distribution (H-, X-, L- subbundles). For H-, X-, L-subbundles found their focal manifolds, as well as the field of normalization and the normal bundles of 1st and 2nd kind Nord differential neighborhood of the 1st order. Study of H (L)-distributions of actual, as the theory of H (L)-distributions can be used to study torsovyh surfaces, dimensional hyperbands regular and special classes hyperbands and hypersurfaces of affine space. This work by GF Laptev. In all the indices take the values:
Ключевые слова: гиперполосное распределение; афинное пространство; фокальный образ.
Keywords: hyperband distribution; affine space; focal image.
§ 1. Задание гиперполосного H(L)-распределения аффинного пространства
1. Пусть дано n-мерное аффинное пространство An, отнесенное к подвижному реперу {А,
}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеет вид
(*)
Инвариантные формы 
и 
аффинной группы преобразований удовлетворяют структурными уравнениями аффинного пространства An:
Рассмотрим H(L)-распределение аффинного пространства Аn. При этом распределение прямых L(A) назовем базисным распределением (или L-подрасслоением), а распределение гиперплоскостей H(A)-оснащающим распределением (или H-подрасслоением). В репере R0
(
}) H(L)-распределение задается уравнениями:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(1)
В дальнейшем мы рассматриваем регулярные гиперполосные распределения [7]; [8] для которых главный фундаментальный тензор 
что позволяет ввести в рассмотрение обратный фундаментальный тензор 1-го порядка 
(2)
Из уравнений (1) следует, что регулярное H(L)-распределение аффинного пространства An существует и определяется с произволом 2(n-2)+1=2n-3 функций n аргументов в дифференциальной окрестности 1-го порядка.
2. Для регулярного Н-распределения согласно лемме Н.М. Остиану [6] возможна частичная канонизация репера R0, как это следует из дифференциальных уравнений
(3)
Действительно, полагая
и учитывая (2), разрешим уравнения (3) относительно форм 
.
Геометрический смысл такой канонизации заключается в том, что векторы {
} помещаются в характеристику Xn-m-1(A) гиперплоскости H(A),полученную при смещении центра А вдоль кривых, принадлежащих L-подрасслоению. Выбранный таким образом репер R1 [6] является репером 1-го порядка H(L)-распределения. В дифференциальной окрестности 2-го порядка H(L)-распределение задается относительно репера R [6] уравнениями:
(4)
(5)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
где коэффициенты в правых частях уравнений (5) не симметричны по нижним индексам. Отметим, что геометрические объекты Г1={
}, Г2={Г1,
} являются фундаментальными геометрическими объектами H(L)-распределения соответственно 1-го и 2-го порядка [3]. В общем случае (при локальной постановке вопроса) определители 
отличны от нуля. Компоненты определителя Н0 имеют следующее строение
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
.
Для невырожденных тензоров {
} и {
} введем, вообще говоря, несимметрические обращенные тензоры 1-го порядка {
} и {
}, компоненты которых удовлетворяют соотношениям [3]; [4]:
и соответственно дифференциальным уравнениям
Тензоры {}, {} и {}, {} являются фундаментальными тензорами 1-го порядка и обращенными фундаментальными тензорами 1-го порядка соответственно Х-подрасслоения (распределение характеристик Н(L)-распределения) и Н-подрасслоения (распределения Н-плоскостей)
§ 2. Соответствие Бомпьяни-Пантази
1. Следуя работам [1]; [4] введем биекцию Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода, для H-, L-, X-подрасслоений, ассоциированных с H(L)-распределением.
Определение. Нормалью 1-го рода элемента Н-распределения (плоскости Н(А)) называется инвариантная прямая N1(A), удовлетворяющая условию N1(A)
H(A)=A, а нормалью 2-го рода — инвариантная плоскость 
n-2(A) такая что, n-2(A)⊂Н(А), А∉
n-2(A).
Поля нормалей 1-го рода N1(A) и нормалей 2-го рода n-2(A) задаются соответственно полями объектов {
},{
}:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Определение. Будем говорить, что Н-подрасслоение (соответственно L-подрасслоение, Х-подрасслоение) нормализовано, если оно одновременно оснащено полями нормалей 1-го рода и 2-го рода Нордена [5], а саму нормализацию будем обозначать 
или (N1,n-2) (соответственно символами 
или (Nn-1,0), (N2,n-3)).
2. Зададим точку F
H(A) следующим образом
, 
(6)
Потребуем, чтобы она не выходила из гиперплоскости Н(А) при смещении центра А Н(L)-распределения вдоль кривой
,
касающейся нормали 
=[A,
] = [А,
] 1-го рода гиперплоскости Н(А), т. е., чтобы
, (
). (7)
Определение. Точка F, удовлетворяющая условию (7) называется фокальной точкой гиперплоскости Н(А) [1]; [6] а направление смещения точки А, соответствующие фокальной точке F-фокальным направлением.
Из (7) в силу (*), (6) следует
(8)
Уравнение (8) определяет многообразие фокальных точек гиперплоскости Н(А), которые согласно (3),(4),(5) приведем к виду:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(9)
где
(10)
.
Таким образом, уравнения (9) задают в локальном репере R1 [1] нормаль 2-го рода плоскости Н(А), а поле нормалей 2-го рода Н-подрасслоения задается дифференциальными уравнениями (10). Разрешим уравнения (10а) относительно 
(11)
где
(12)
Итак, при помощи формул (10а) и (11а) устанавливается взаимно однозначное соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода Н-распределения. Это соответствие (биекция) является для оснащающего Н-подрасслоения аналогом соответствия Бомпьни-Пантази [1]; [4].
Аналогично, устанавливаем соответствие Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го рода N2(
) и нормалями 2-го рода n-3(
) Х-подрасслоения:
(13)
(14)
где
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(15)
3. Из (12) следует, что компонента {
} квазитензора {
} имеет следующее строение
и является квазитензором 1-го порядка
. (16)
Будем искать соответствие Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода L-подрасслоения в виде (11), (13)
(17)
Разрешив уравнения (17) относительно величины {} получим
,
где
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
4. Отметим, что поле квазитензора {
} (12) для гиперплоскостного распределения аффинного пространства было введено Алшибая Э.Д. [1]; [2] и дана его геометрическая интерпретация. В силу этого поле нормалей 1-го рода N1
1 (поле нормалей 
) оснащающего Н-подрасслоения данного Н(L)-распределения, будем называть в дальнейшем полем нормалей Алшибая Э.Д. В соответствии с этой терминологией поле нормалей 1-го рода N22 (Nn-1n-1), определяемое полем квазитензора 
(15) (
), назовем полем нормалей Алшибая 1-го рода Х-подрасслоения (L-подрасслоения). Следуя работам [1]; [2] аналогично можно показать, что свойства нормалей Алшибая 
сохраняют силу и в случае H(L)-распределения:
а. при смещении центра А H(L)-распределения вдоль кривой, касающейся нормали Алшибая 
, гиперплоскостной элемент Н(А) смещается параллельно;
б. в биекции Бомпьяни-Пантази (11) нормали Алшибая , определенной объектом {
} (12), соответствует бесконечно удаленная (n-2) — плоскость гиперплоскости Н(А) (в этом случае в уравнении (10) 
).
§ 3. Фокальные образы
1. Пусть задано поле нормалей 1-го рода N1=[A,
] оснащающего Н-подрасслоения:
.
Рассмотрим фокальные образы, связанные с L-, X-подрасслоениями данного H(L)-распределения. Найдем фокальное многообразие 
нормали 1-го рода Nn-1(A)=[A,
] прямой L(A) при смещении центра А вдоль кривых (), принадлежащих L-подрасслоению:
Пусть F — фокальная точка плоскости Nn-1(A):
где
Из условия ее фокальности
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
в силу соотношений (1), (3), (14), (17) находим
(18)
где
Так как уравнения (18) выполняются тождественно, то
где
(19)
Итак, фокальное многообразие Ф(Nn-2,L), которое в локальном репере R1 задается уравнениями
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
есть плоскость Kn-2⊂Nn-1(A). Плоскость Kn-2(А) является аналогом плоскости Кёнигса [8] для данного H(L)-распределения. Точку пересечения нормали 
с плоскостью Kn-2(А), т. е. точку
,
назовем точкой Кёнигса нормали , ассоциированной с L-подрасслоением или кратко 
— виртуальной точкой Кенигса. Определим в каждом центре А еще одну инвариантную плоскость
Кn-3(A)=X(A)
Kn-2(А): 
(20)
которая является нормалью 2-го рода плоскости X(A). Итак, структура плоскости Кенигса 
такова, что
.
Если задать другое поле инвариантных нормалей 
H-подрасслоения, то в соответствующей точке А плоскость Кенигса имеет вид
,
т. е. плоскость 
есть ось оснащающих плоскостей Кёнигса в нормалях 1-го рода Nn-1 L-подрасслоения в данном центре А.
Следовательно, имеет место
Теорема 1. Для пучка нормалей 1-го рода Nn-1(A) прямой L(А) в данном центре А все плоскости Кенигса проходят через неподвижную (инвариантную) плоскость 
(20) — ось пучка плоскостей Кенигса.
2. Аналогично, находим в каждом центре А фокальное многообразие Ф(N2,X(A)) нормали 1-го рода N2(А) плоскости X(A), при смещениях центра А вдоль кривых (
):
принадлежащих Х-подрасслоению.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Зададим фокальную точку F плоскости N2(A) вектором:
где
Требование инвариантности точки F, т. е.
приводит к соотношениям
(21)
где
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(22)
Условие (21) выполняется тождественно, поэтому
(23)
Свертывая по α и β выражение (23) и преобразуя, получим
где
(24)
(25)
Таким образом, фокальное многообразие Ф(N2,Х), представляет собой прямую 
⊂N2(A), которая относительно локального репера R1 задается системой уравнений:
(26)
Прямую 
(26) назовем 
— виртуальной прямой Кёнигса плоскости N2(A) = [A,L,
] в центре А.
Поле прямых (26) задается уравнениями (24),(25),(14) т. е. полями объектов {},{
,
}.
Точка 
= 
является нормалью 2-го рода в смысле Нордена прямой L(A):
(27)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Если тензор 
, то точка ⊂L(A) есть несобственная точка прямой L(A). Точку (27) назовем 
— виртуальной точкой Кёнигса прямой L(A), так как она зависит от выбора нормали {} (нормали 
плоскости H(A)).
Точку
,
· точку пересечения нормали N1() c прямой 
(26), назовем точкой Кёнигса нормали N1=[A,], ассоциированной с плоскостью X(A), или коротко X — виртуальной точкой Кёнигса. Итак, структура прямой (26) такова:
=[
,
].
Заметим, что порядок охвата тензоров 
(19), 
(25), на единицу выше, чем порядок объекта {}(14).
§ 4. Поля нормализаций и пучки нормалей 1-го и 2-го Нордена основных структурных подрасслоений H(L)-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка
1. Согласно уравнениям (5), (2) убеждаемся, что функции
, 
(28).
образуют квазитензор 1-го порядка и, следовательно, дифференциальные уравнения (28) задают поле нормалей 1-го рода V2 X-подрасслоения.
Используя биекцию (13), находим соответствующее поле нормалей 2-го рода Х-подрасслоения:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Далее с помощью объекта {
} и соотношения (22) построим тензоры {
} и {
}:
. (29)
Полю нормалей 2-го рода {} (29) в силу биекции (17) соответствует поле нормалей 1-го рода {
} L-подрасслоения:
, 
В дифференциальной окрестности 1-го порядка введем функции
{
}
, (30)
удовлетворяющие соответственно уравнениям:
.
Заметим, что геометрические объекты (30) соответствуют друг другу в биекции Бомпьяни-Пантази (10)(или (11)).
2. Для Н-подрасслоения гиперполосного Н(L)-распределения справедливо предложение, доказанное для гиперплоскостного распределения аффинного пространства Аn Алшибая Э.Д. [1]/
Теорема 2. Однопараметрическому пучку нормалей 1-го рода (
(
);), определенному в данном центре А Н-подрасслоения (-параметр), в биекции Бомпьяни-Пантази соответст