Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Интеграл кривизны математического скалярного поля»

АННОТАЦИЯ. Изучаются свойства гладкого скалярного поля на плоскости, проявляющиеся при рассмотрении семейств линий уровня.

Помощь в написании статьи

ABSTRACT

We study the properties of the smooth scalar field on the plane, taken in dealing with the families of level curves.

Ключевые слова: линия уровня; эволюта; кривизна; вторая кривизна; интеграл кривизны; гауссово изображение.

Keywords: level curve; evolute; curvature; the second curvature; the integral of the curvature; the Gaussian image.

В современной теории математического скалярного поля является актуальной задача количественного наполнения качественного понятия его кривизны. Данная статья является естественным продолжением работы автора [5] по дифференциальной и интегральной геометрии гладкого математического скалярного поля. Под гладкостью скалярного поля в данной статье будем всегда понимать существование всех непрерывных частных производных до третьего порядка включительно у представляющей его функции двух переменных. Дифференциальная геометрия семейств линий уровня ориентирована на учебник Дж. Торпа [6], где поверхности в многомерном пространстве рассматриваются как уровенные поверхности. Интегральная геометрия семейств линий уровня представляет собой распространение основных идей уже сложившегося понятия интегральной геометрии на семейства криволинейных уровней скалярных полей. Такой подход использован в методе модулей исследования квазиконформных отображений. При доказательствах используется криволинейная теорема Фубини, известная по учебнику Р. Куранта [3, c. 318]. Схема доказательств заимствована из учебника М.А. Евграфова [1, c. 443], где был представлен принцип длины и площади. Первая теорема есть аналог этого принципа в ситуации, когда вместо длины образа линии уровня рассмотрена длина её гауссового изображения, а вместо площади рассматривается произведение интеграла Дирихле и двойного интеграла кривизны. В условии второй теоремы длина линии уровня заменяется криволинейным интегралом от квадратного корня из абсолютной величины кривизны эволюты, из-за чего двойной интеграл кривизны берётся уже от квадрата второй кривизны.

Криволинейная теорема Фубини. Для гладкого скалярного поля u(M) в плоской области G пусть E(r) — линия уровня с длиной дуги s, L(E(r)) — её длина. Тогда для любого скалярного поля f(M)

∫∫f(M)|gradu|dG = ∫dr ∫E(r)f(M)ds

при условии существования двойного интеграла. При этом однократное интегрирование проводится по всей области значения скалярного поля.

Вытекающую отсюда формулу

∫∫|gradu|dG = ∫L(E(r))dr

автор предлагает рассматривать как проявление интегральной геометрии семейства линий уровня. Эта формула допускает своеобразное повышение порядка дифференцирования скалярного поля. Пусть N(r) — гауссово изображение линии уровня E(r), k = k(M) = -div(gradu/|gradu|) —

кривизна линии уровня E(r) в точке М. Тогда [6, c. 116] в случае выпуклости почти всех линий уровня для почти всех значений параметра r будет

L(N(r)) = ∫E(r)|k|ds. Интегрируя по параметру r, по криволинейной теореме Фубини получаем

∫∫|k|·|gradu|dG = ∫L(N(r))dr ≤ ∫∫||hess u||dG,

где hess u — матрица Гессе скалярного поля u(M) c евклидовой нормой.

Рассмотрим теперь интеграл Дирихле D(u,G) = ∫∫|gradu|2dG, двойной интеграл кривизны I1(u,G) = ∫∫ k4dG, функцию параметра r

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

λ(r) = L(N(r))2/L(E(r))

и однократный интеграл кривизны J1(u,G) = ∫λ(r)dr.

Теорема 1. Если для гладкого скалярного поля u(M) конечны интеграл Дирихле и двойной интеграл кривизны, то конечен и однократный интеграл кривизны, причём J1(u,G)2 ≤ I1(u,G)D(u,G).

Доказательство. Как мы уже видели, использование криволинейной теоремы Фубини приводит к рассмотрению криволинейных интегралов первого рода по линиям уровня скалярного поля. В процессе доказательства мы применим к ним неравенство Гёльдера по примеру обзорной статьи В.Г. Мазьи [3]. Так как кривизна линии уровня служит касательной производной гауссового отображения, то для почти всех значений параметра r будет

L(N(r)) ≤ ∫E(r)|k|ds.

Согласно неравенству Буняковского-Шварца [1, c. 443], тогда λ(r) ≤ ∫E(r)k2ds. Интегрируя это неравенство по всей области изменения параметра r, по криволинейной теореме Фубини получаем

J1(u,G) ≤ ∫∫k2|gradu|dG.

Оценивая теперь двойной интеграл с помощью неравенства Буняковского- Шварца, получаем требуемое неравенство.

Пусть теперь k2 = k2(M) = dk/ds — вторая кривизна линии уровня в точке М, kev = kev(M) — кривизна эволюты линии уровня в центре кривизны для точки М. Из известных свойств эволюты [2, c. 352] вытекает вычислительная формул kev = ±k13/k2. Рассмотрим двойной интеграл кривизны I2(u,G) = ∫∫|k22dG, функцию параметра r

μ(r) = L(N(r))3/(∫E(r)|kev|½ds)2

и однократный интеграл кривизны J2(u,G) = ∫μ(r)dr.

Теорема 2. Если для гладкого скалярного поля u(M) конечны интеграл Дирихле и двойной интеграл кривизны I2(u,G), то конечен и однократный интеграл кривизны J2(u,G), причём J2(u,G)2 ≤

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

I2(u,G)D(u,G).

Доказательство. Если в начале доказательства теоремы 1 использовать тождество k = |k2|⅓k/|k2|⅓, то для почти всех значений параметра r будет

L(N(r)) ≤ ∫E(r)|k2kev|⅓ds.

Согласно неравенству Гёльдера с показателем р = 3, будет μ(r) ≤ ∫E(r)|k2|ds . Интегрируя последнее неравенство по всей области изменения параметра r, получаем

J2(u,G) ≤ ∫∫|k2|·|gradu|dG.

Остаётся оценить двойной интеграл с помощью неравенства Буняковского-Шварца.

Доказанные теоремы позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, степень суммируемости подынтегральной функции в двойном интеграле кривизны влияет на вид однократного интеграла кривизны. Во-вторых, сам двойной интеграл кривизны можно ввести на основе понятия второй кривизны линии уровня скалярного поля.

Список литературы:

Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. — 472 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1967. — 704 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. — 672 с.
Мазья В.Г. Классы областей, мер и ёмкостей в теории пространств дифференцируемых функций // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 26 (1988). — С. 159—228.
Пешкичев Ю.А. Дифференциальная и интегральная геометрия математического скалярного поля // Новый университет. Сер. «Вопр. естеств. наук». — 2012. — № 3. — С. 11—12.
Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982. — 361 с.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

400

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке