ABSTRACT
We study the properties of the smooth scalar field on the plane, taken in dealing with the families of level curves.
Ключевые слова: линия уровня; эволюта; кривизна; вторая кривизна; интеграл кривизны; гауссово изображение.
Keywords: level curve; evolute; curvature; the second curvature; the integral of the curvature; the Gaussian image.
В современной теории математического скалярного поля является актуальной задача количественного наполнения качественного понятия его кривизны. Данная статья является естественным продолжением работы автора [5] по дифференциальной и интегральной геометрии гладкого математического скалярного поля. Под гладкостью скалярного поля в данной статье будем всегда понимать существование всех непрерывных частных производных до третьего порядка включительно у представляющей его функции двух переменных. Дифференциальная геометрия семейств линий уровня ориентирована на учебник Дж. Торпа [6], где поверхности в многомерном пространстве рассматриваются как уровенные поверхности. Интегральная геометрия семейств линий уровня представляет собой распространение основных идей уже сложившегося понятия интегральной геометрии на семейства криволинейных уровней скалярных полей. Такой подход использован в методе модулей исследования квазиконформных отображений. При доказательствах используется криволинейная теорема Фубини, известная по учебнику Р. Куранта [3, c. 318]. Схема доказательств заимствована из учебника М.А. Евграфова [1, c. 443], где был представлен принцип длины и площади. Первая теорема есть аналог этого принципа в ситуации, когда вместо длины образа линии уровня рассмотрена длина её гауссового изображения, а вместо площади рассматривается произведение интеграла Дирихле и двойного интеграла кривизны. В условии второй теоремы длина линии уровня заменяется криволинейным интегралом от квадратного корня из абсолютной величины кривизны эволюты, из-за чего двойной интеграл кривизны берётся уже от квадрата второй кривизны.
Криволинейная теорема Фубини. Для гладкого скалярного поля u(M) в плоской области G пусть E(r) — линия уровня с длиной дуги s, L(E(r)) — её длина. Тогда для любого скалярного поля f(M)
∫∫f(M)|gradu|dG = ∫dr ∫E(r)f(M)ds
при условии существования двойного интеграла. При этом однократное интегрирование проводится по всей области значения скалярного поля.
Вытекающую отсюда формулу
∫∫|gradu|dG = ∫L(E(r))dr
автор предлагает рассматривать как проявление интегральной геометрии семейства линий уровня. Эта формула допускает своеобразное повышение порядка дифференцирования скалярного поля. Пусть N(r) — гауссово изображение линии уровня E(r), k = k(M) = -div(gradu/|gradu|) —
кривизна линии уровня E(r) в точке М. Тогда [6, c. 116] в случае выпуклости почти всех линий уровня для почти всех значений параметра r будет
L(N(r)) = ∫E(r)|k|ds. Интегрируя по параметру r, по криволинейной теореме Фубини получаем
∫∫|k|·|gradu|dG = ∫L(N(r))dr ≤ ∫∫||hess u||dG,
где hess u — матрица Гессе скалярного поля u(M) c евклидовой нормой.
Рассмотрим теперь интеграл Дирихле D(u,G) = ∫∫|gradu|2dG, двойной интеграл кривизны I1(u,G) = ∫∫ k4dG, функцию параметра r
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
λ(r) = L(N(r))2/L(E(r))
и однократный интеграл кривизны J1(u,G) = ∫λ(r)dr.
Теорема 1. Если для гладкого скалярного поля u(M) конечны интеграл Дирихле и двойной интеграл кривизны, то конечен и однократный интеграл кривизны, причём J1(u,G)2 ≤ I1(u,G)D(u,G).
Доказательство. Как мы уже видели, использование криволинейной теоремы Фубини приводит к рассмотрению криволинейных интегралов первого рода по линиям уровня скалярного поля. В процессе доказательства мы применим к ним неравенство Гёльдера по примеру обзорной статьи В.Г. Мазьи [3]. Так как кривизна линии уровня служит касательной производной гауссового отображения, то для почти всех значений параметра r будет
L(N(r)) ≤ ∫E(r)|k|ds.
Согласно неравенству Буняковского-Шварца [1, c. 443], тогда λ(r) ≤ ∫E(r)k2ds. Интегрируя это неравенство по всей области изменения параметра r, по криволинейной теореме Фубини получаем
J1(u,G) ≤ ∫∫k2|gradu|dG.
Оценивая теперь двойной интеграл с помощью неравенства Буняковского- Шварца, получаем требуемое неравенство.
Пусть теперь k2 = k2(M) = dk/ds — вторая кривизна линии уровня в точке М, kev = kev(M) — кривизна эволюты линии уровня в центре кривизны для точки М. Из известных свойств эволюты [2, c. 352] вытекает вычислительная формул kev = ±k13/k2. Рассмотрим двойной интеграл кривизны I2(u,G) = ∫∫|k22dG, функцию параметра r
μ(r) = L(N(r))3/(∫E(r)|kev|½ds)2
и однократный интеграл кривизны J2(u,G) = ∫μ(r)dr.
Теорема 2. Если для гладкого скалярного поля u(M) конечны интеграл Дирихле и двойной интеграл кривизны I2(u,G), то конечен и однократный интеграл кривизны J2(u,G), причём J2(u,G)2 ≤
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
I2(u,G)D(u,G).
Доказательство. Если в начале доказательства теоремы 1 использовать тождество k = |k2|⅓k/|k2|⅓, то для почти всех значений параметра r будет
L(N(r)) ≤ ∫E(r)|k2kev|⅓ds.
Согласно неравенству Гёльдера с показателем р = 3, будет μ(r) ≤ ∫E(r)|k2|ds . Интегрируя последнее неравенство по всей области изменения параметра r, получаем
J2(u,G) ≤ ∫∫|k2|·|gradu|dG.
Остаётся оценить двойной интеграл с помощью неравенства Буняковского-Шварца.
Доказанные теоремы позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, степень суммируемости подынтегральной функции в двойном интеграле кривизны влияет на вид однократного интеграла кривизны. Во-вторых, сам двойной интеграл кривизны можно ввести на основе понятия второй кривизны линии уровня скалярного поля.
Список литературы:
Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. — 472 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1967. — 704 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. — 672 с.
Мазья В.Г. Классы областей, мер и ёмкостей в теории пространств дифференцируемых функций // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 26 (1988). — С. 159—228.
Пешкичев Ю.А. Дифференциальная и интегральная геометрия математического скалярного поля // Новый университет. Сер. «Вопр. естеств. наук». — 2012. — № 3. — С. 11—12.
Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982. — 361 с.