Вводные замечания
Пусть 
— функция двух переменных, заданная в некоторой замкнутой области 
, где 
.
Теорема 9. Если для функции 
существует двойной предел равный константе
и повторный предел равный константе
то допустим предельный переход
Данная теорема, является следствием теоремы [3, с. 361], справедливость которой доказана лишь для конечных 
и 
. В этой теореме из равенства двойного и повторного предела константам следует, что 
. В дальнейшем мы убедимся, что теорема 9 неверна для бесконечных
и .
Предельный переход и дифференцирование под знаком интеграла
Следующие теоремы решают вопросы, связанные с допустимостью предельного перехода и дифференцирования в точке под знаком собственных и несобственных интегралов второго рода. Пусть 
— функция двух переменных, заданная в некоторой области 
, где 
.
Теорема 10. Если функция 
интегрируема по на конечном промежутке 
и для её первообразной существуют повторный и двойной пределы при 
и 
, где 
, равные константам
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 9.
1)Проверим допустимость предельного перехода под знаком следующего интеграла
В силу того, что условия теоремы 10 не выполнены, а именно
предельный переход под знаком интеграла при 
недопустим.
Теорема 11. Если функция интегрируема по на конечном промежутке и имеет частную производную по , и для производной её первообразной 
существуют повторный и двойной пределы при и , где , равные константам
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 10.
2)Проверим допустимость дифференцирования под знаком интеграла при
В силу того, что условия теоремы 11 не выполнены, а именно
Предел
не существует, дифференцирование под знаком интеграла при недопустимо.
Теорема 12. Если функция интегрируема по на конечном промежутке и для её первообразной существуют простой и двойной пределы при 
и , где , равные нулю
то имеет место формула
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 2 [1].
3)Проверим допустимость предельного перехода при под знаком следующего интеграла
В силу того, что условия теоремы 12 выполнены, а именно
предельный переход под знаком интеграла при допустим.
4)Проверим допустимость предельного перехода при под знаком следующего интеграла
В силу того, что условия теоремы 12 не выполнены, а именно
предельный переход под знаком интеграла при недопустим.
Теорема 13. Если функция интегрируема по на конечном промежутке и имеет частную производную по и для производной её первообразной существуют простой и двойной пределы при и , где , равные нулю
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 12.
Теорема 14. Если функция интегрируема по на бесконечном промежутке 
и для её первообразной существуют простой и двойной пределы при и , где , равные константам
и первообразная как предельная функция поточечно равномерно непрерывна в точке 
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 2 [1] и теоремы 9.
5)Проверим допустимость предельного перехода под знаком интеграла при
В силу того, что условия теоремы 14 не выполнены, а именно
Предел
не существует, предельный переход под знаком интеграла при не допустим.
Теорема 15. Если функция интегрируема по на бесконечном промежутке и имеет частную производную по и для производной её первообразной 
существуют простой и двойной пределы при и , где , равные константам
и производная первообразной как предельная функция равномерно непрерывна при
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 14.
Теорема 16. Если функция интегрируема по на бесконечном промежутке и её первообразная как предельная функция поточечно равномерно непрерывна на этом промежутке
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 2 [1].
6)Проверим допустимость предельного перехода под знаком интеграла при
В силу того, что условия теоремы 16 не выполнены
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
предельный переход под знаком интеграла при недопустим.
Теорема 17. Если функция интегрируема по на промежутке и имеет частную производную по и производная её первообразной как предельная функция поточечно равномерно непрерывна на этом промежутке
то имеет место формула
Справедливость этой теоремы следует из справедливости теоремы 16.
Список литературы:
1.Корнеев А.А., Дорошкевич О.А. Теория предельных функций // Вопросы естественных и математических наук: мат-лы междунар. науч.-практ. конф.
2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 т. Т. 1. — 9-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 608 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная книга).