Рассматривается прямой поперечный изгиб биметаллической балки прямоугольного поперечного сечения размерами b×H. Материалы, из которых состоит балка, будем обозначать материал 1 и материал 2. Размеры поперечного сечения считаем постоянными и известными (в расчете можно задать конкретные значения b и H), сечение показано на рис. 1.
Практический интерес представляет вычисление и в дальнейшем анализ возникающих в таких балках нормальных напряжений, необходимых для расчета на прочность. При расчете подобных балок следует использовать теорию изгиба. При чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими независимо от того, состоит ли балка из одного материала или из нескольких. Касательные напряжения не рассматриваем. Как указано в [2, с. 150], искажение поперечных сечений при наличии касательных напряжений лишь незначительно меняет нормальные напряжения. Поэтому в рассматриваемой балке деформации изменяются от верхней поверхности до нижней по линейному закону.
Рис.1. Поперечное сечение
Положение нейтральной оси можно найти по формуле [2, с. 182]
где: 
— модули упругости рассматриваемых материалов 1 и 2; y—произвольное расстояние от нейтральной оси в материалах 1 и 2; интегрирование проводится по площади, занимаемой соответственно материалами 1 и 2.
При исследовании биметаллической балки возникает вопрос, в каком соотношении по занимаемой площади поперечного сечения должны быть используемые металлы. Поэтому при вычислении нормальных напряжений в поперечном сечении необходимо дополнительно определять положение нейтральной линии поперечного сечения в зависимости от положения линии раздела двух металлов, составляющих это сечение. В данной работе при выполнении конкретных расчетов приняты три варианта положения линии раздела металлов, которые показаны на рис. 2.
Рис. 2. Варианты соотношения металлов в поперечном сечении
Пусть h1 и h2 — высота части поперечного сечения, занимаемой материалами 1 и 2 соответственно (см. ранее рис. 1). На этом рисунке А-А — линия раздела двух материалов. Будем считать, что модули упругости материалов 1 и 2 подчиняются неравенству E1 >E2. Тогда, как показано в [2, с. 183], нейтральная ось z будет находиться в части, занимаемой материалом 1. На рис. положение нейтральной оси определено расстояниями y1 и y2. Из выражения (1) получены зависимости для y1 и y2:
Здесь введен коэффициент, учитывающий разномодульность материалов, 
. С учетом сделанного ранее предположения относительно модулей упругости материалов, очевидно, что
На основании формул, представленных в [2, с. 183], вычислены нормальные напряжения в наиболее удаленных точках контура поперечного сечения:
В формулах (4) и (5) М — изгибающий момент в исследуемом сечении балки; зависит от действующей нагрузки. Для конкретного расчета считаем изгибающий момент известным, M=const. Е1 и Е2 — модули упругости материалов, составляющих балку; I1 и I2 — осевые моменты инерции площади сечения, занимаемой соответственно материалом 1 и материалом 2, относительно нейтральной оси поперечного сечения; y — расстояние от исследуемой точки до нейтральной оси поперечного сечения. Формула (4) описывает распределение нормальных напряжений в материале 1, а формула (5) — в материале 2.
Выполнены расчеты для трех вариантов положения линии раздела металлов в поперечном сечении (см. рис. 2). Для каждого варианта рассматривались следующие значения коэффициента n: 0,1; 0,35; 0,55; 0,64; 0,9. Особо выделены три значения параметра n, которые соответствуют трем сочетаниям металлов, а именно: сталь — алюминий (n=0,35), сталь — медь (n=0,55), медь — алюминий (n=0,64). Модули упругости металлов приняты в соответствии с представленными значениями в [1, с. 324]. Для каждого варианта расчета предварительно получены более простые выражения y1 и y2. В зависимости от конкретных соотношений между h1 и h2 на основании формул (2) и (3) yi можно представить в виде функций, зависящих только от высоты заданного поперечного сечения H и параметра разномодульности материалов n. Например, для положения линии раздела по варианту 1 (см. рис. 2) формулы (2) и (3) принимают вид:
Далее в табл. 1 приведены результаты расчетов, выполненных для трех вариантов положения линии раздела металлов и конкретного значения параметра n. Вычислены расстояния y1 и y2, определяющие положение нейтральной линии, осевые моменты инерции площади сечения I1 и I2, значения нормальных напряжений в наиболее удаленных точках поперечного сечения 
и 
. Все вычисления сделаны в общем виде, при этом параметры H и M считаются заданными. Дополнительно введен коэффициент формы поперечного сечения 
Вычисления проведены с использованием системы MathCAD.
Таблица 1.
Результаты расчетов напряжений
Выполненные расчеты позволяют построить графики зависимостей напряжений от коэффициента n, учитывающего разномодульность материалов. Представленные графики выполнены с помощью ПК КОМПАС, AutoCAD.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
На рис. 3 представлены указанные зависимости для каждого из трех рассматриваемых вариантов положений линии раздела металлов (см. ранее рис. 2). Полученные зависимости показывают, что наибольшие значения напряжений в наиболее удаленных точках поперечного сечения наблюдаются для случая, когда разные металлы занимают равные части площади поперечного сечения (с учетом сделанного предположения E1 >E2). Наименьшие значения напряжений
Рис.3. Зависимости нормальных напряжений от соотношения
модулей упругости материалов
Рис.4. Зависимости наибольших нормальных напряжений
от коэффициента формы поперечного сечения
можно получить в случае увеличения площади поперечного сечения материалом с бóльшим значением модуля упругости (при прочих равных условиях).
Сходимость зависимостей подчеркивает очевидный факт: если Е1=Е2(в этом случае
, то есть балка выполнена из одного материала), то для прямоугольного поперечного сечения (симметричного) значения напряжений в наиболее удаленных точках поперечного сечения одинаковы по модулю. В рассматриваемом случае 
Из рис. 3 очевидно, что наибольшие напряжения наблюдаются в материале 1, у которого модуль упругости больше.
На рис. 4 показаны зависимости наибольших нормальных напряжений от коэффициента формы поперечного сечения для конкретных значений параметра k (при прочих равных условиях). Представленные зависимости показывают, что для различных соотношений металлов напряжения возрастают при уменьшении значения коэффициента формы. Сближение кривых, построенных для разных значений параметра k, наблюдается для случая, когда более жесткий материал занимает большую часть площади (см. вариант 3 на рис. 4). Поэтому предпочтительнее использовать сечения, для которых выполняется k>0,5.
Таким образом, представленные расчеты и графические зависимости в некоторых частных случаях позволяют подобрать металлы и их оптимальные соотношения в поперечном сечении биметаллической балки из анализа нормальных напряжений.
Список литературы:
1. Сидоров В. Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального Штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002. — 352 с.ISBN 5-94377-008-9
2. Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. Пер. с англ. М.:Мир, 1976. 550 с.