Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Касательные к параболе»

Введение. Понятие касательной — одно из важнейших в математическом анализе. «Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определили пути развития математики» [2, с. 229]. Но касательную можно провести к различным кривым, в том и числе и к параболе, интерес к которой проявляли древние математики, такие как Апполоний Пергский, Архимед, Папп, Исидор Милетский. Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. Исследования, связанные с построением касательных с помощью аналитических методов, проводили Р. Декарт, Г.В. Лейбниц, И. Ньютон.

Помощь в написании статьи

С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.

Актуальность работы в том, что понятия касательной к параболе, ее уравнение изучается только в 11 классе, и ее свойства не рассматриваются. В то же время исследование вопроса о касательной к параболе расширяет знания о параболе и круг решаемых задач. Одновременно актуальной является идея применения ИГС GeoGebra для проведения компьютерного моделирования исследуемого вопроса.

Проблемный вопрос: Понятие касательной к кривым вводится в школьном курсе математики только в 11 классе с помощью производной функции. Понятие производной функции возникло на много позже (XVII век) понятий параболы и касательной к ней. Можно ли без понятия производной функции дать определение параболы, сделать вывод ее уравнения и полученные знания применить для построения касательной к параболе?

Цель исследования: применить имеющиеся знания о касательной для исследования новых свойств функции y=x2 и попытаться использовать эти свойства для построения касательных к параболе y=x2 без вычисления производной.

Задачи исследования

1.Установить геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у=ах2.

2.Установить, что касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.

3.Установить, что точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.

4.Установить, что касательные в концах фокальной хорды параболы пересекаются на директрисе параболы.

5.На основании установленных свойств касательной к параболе выявить способы построения касательной.

Методы исследования

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

·Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики.

·Компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra (компьютерный эксперимент).

·Анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных.

·Обобщение найденных с помощью компьютерного эксперимента закономерностей.

·Аналитические рассуждения.

Объект исследования: парабола

Предмет исследования: касательные к параболе.

Гипотеза исследования Видимо, касательная к параболе, как любой геометрический объект, имеет свои свойства, которые расширят наши знания о параболе.

Основная часть

В учебной литературе даются такие определения касательной к параболе:

Определение 1. Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не параллельная ее оси, называется касательной к параболе.

В математическом анализе касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей МN при приближении точки N по кривой к точке М.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Определение 2. Касательной к кривой в данной точке МО называется предельное положение секущей М0М1 при условии, что точка М1 стремится к точке М0 по данной кривой [1, с. 21].

Вывод уравнения касательной к параболе у = ах2 в точке М0 (х0; ах02)

Рисунок 1.

•Точки М0(х0; ах02) и М1(х1; ах12) принадлежат параболе у=ах2. Уравнение секущей М0М1 имеет вид:

                    

Рисунок 2.

Пусть точка М1 стремится к точке М0. Тогда х1 стремится к х0 и в пределе уравнение секущей переходит в уравнение касательной в точке М0(х0; ах02)

Касательная пересекает ось абсцисс в точке А (х0/2; 0), что следует из уравнения касательной при у=0. Этот факт дает возможность построить касательную к параболе в данной точке М0 с помощью циркуля и линейки. Для этого нужно провести перпендикуляр М0Н из данной точки М0 к оси абсцисс, а затем построить середину отрезка ОН. Это точка А. Проведем прямую через точки А и М0.

• Прямая АМО является касательной к параболе в данной точке М0.

Построение касательной в ИГС GeoGebra

Рисунок 3.

Алгоритм построения с помощь. ИГС аналогичен, только выполняется с помощью инструментов программы:

• перпендикулярная прямая;

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

• середина или центр;

• прямая по двум точка.

Задача. К параболе y = x2 составить уравнения взаимно-перпендикулярных касательных. Найти точку их пересечения.

Решение. Уравнение касательной к параболе y = ax2 в точке с абсциссой х0. Угловой коэффициент этой касательной k0 = 2ax0. Уравнение касательной к параболе y = ax2 в точке с абсциссой х1. Угловой коэффициент этой касательной k1 = 2ax1.

Найдем соотношение между абсциссами х0 и х1. k0·k1=-1 — условие перпендикулярности двух прямых. Тогда: 2ax0∙2ax1 = -1; 4a2x0x1 = -1;

Искомое уравнение

Составим уравнения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = х2 в различных точках, найдем их точки пересечения и сделаем сравнение

Таблица 1.

Выполнив аналогичные рассуждения для параболы у = ах2 и сравним координаты точек пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах2 можно сделать вывод: абсциссы этих точек разные, а ординаты равны -1/4а, т. е. все такие точки находятся на прямой у = -1/4а, т. е. взаимно-перпендикулярные касательные пересекаются на директрисе параболы.

Возникает вопрос: всегда ли к параболе можно провести две взаимно-перпендикулярных касательных. Ответ очевиден — исключением является вершина параболы.

Теорема параболы. Пусть A — точка на параболе с фокусом F, директриса d, АD — перпендикуляр, опущенный на директрису. Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.

Доказательство. Пусть касательная t в точке M параболы пересекает ее директрису в точке Q и пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Рисунок 4.

В четырехугольнике MFQP два противолежащих угла — прямые и стороны MP и MF равны.

Следовательно, ΔPMQ = ΔQMF и касательная t является биссектрисой угла, образованного фокальным радиусом и прямой, проходящей через данную точку параллельно оси x.

Если MP — перпендикуляр, опущенный из точки M параболы на директрису, то биссектриса угла FMP есть касательная к параболе в точке M.

Вывод. Отсюда, далее, следует, что основания перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные, принадлежат касательной к параболе в ее вершине.

Рисунок 5.

На основании свойств касательной можно выполнить построение касательных к параболе, проведенных из точки P. Пусть парабола задана фокусом F и директрисой d. Используя циркуль и линейку, построим касательную к параболе, проходящую через данную точку C. С центром в точке C и радиусом CF проведем окружность и найдем ее точки пересечения с директрисой d. Если расстояние от точки C до фокуса больше, чем расстояние до директрисы, то таких точек две. Обозначим их D1 и D2. Проведем биссектрисы углов FCD1 и FCD2соответственно. Прямые a1 и a2, содержащие эти биссектрисы являются серединными перпендикулярами к отрезкам FD1 и FD2 и, значит, будут искомыми касательными к параболе. Для построения точек касания через точки D1 и D2 проведем прямые, перпендикулярные директрисе и найдем их точки пересечения

A1 и A2 с прямыми a1 и a2. Они и будут искомыми точками касания. Через точку C проходят две касательные к параболе.

Рисунок 6.

Построение касательных, проходящих через точку С выполнено в ИГС GeoGebra с помощью инструментов: Окружность по центру и радиусу, Отрезок по двум точкам, Пересечение двух объектов, Серединный перпендикуляр.

Заключение

В результате выполнения работы установлено, что:

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

•геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах2.

•касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.

•точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.

•На основании установленных свойств касательной к параболе выявлены способы построения касательной

При выполнении работы были продемонстрированы возможности применения ИГС GeoGebra, что явилось новизной в исследовании поставленной проблемы.

Список литературы:

1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класса — М.: Вита — Пресс, 2003. — 176 с.;

2.Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.;

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1084

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке