ABSTRACT
We consider a model problem of a pair of commuting differential operators of orders 4 and 6, The results are used to generalizations of the commuting pair of work in the event of Dixmier rational coefficients.
Ключевые слова: коммутирующие дифференциальные операторы; дифференциальные операторы порядков 4 и 6.
Keywords: commuting differential operators; differential operators of order 4 and 6.
В данной работе рассматривается задача о паре многочленов и с постоянными коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению:
(1)
Здесь формальная переменная, а векторы и в считаются заданными. Для дифференциального оператора с частными производными имеет место формула —многочлен)
(2)
Из этой формулы следует, что функциональное уравнение (1) эквивалентно условию коммутирования пары дифференциальных операторов с частными производными, полуинвариантных относительно группы сдвигов:
(3)
В теории коммутативных колец дифференциальных операторов с одной независимой переменной специальные операторы вида (3) могут играть роль модели (см. [4]). В одномерном случае полиномиальное уравнение (1) принимает вид:
(4)
Его можно переписать за счет растяжения z с коэффициентом в следующем виде
(5)
При взаимно простых задача о коммутирующих дифференциальных операторах порядков и изучена довольно хорошо. В частности, в рассматриваемом случае при фиксированных небольших и полные списки многочленов, удовлетворяющих уравнению (5) приведены в работе [4]. Характерное свойство этих многочленов заключается в том, что их корни являются целыми числами при . Помимо указанного нормировочного условия, в списках учитывается, что переход к сопряженным операторам не нарушает их коммутирования.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Интерес к более сложному случаю в последнее время заметно усилился. В основном речь идет о коммутирующих дифференциальных операторах с полиномиальными коэффициентами, обобщающими известный пример Диксмье [2] (обзор соответствующей литературы можно найти в [4]).
В рассматриваемой нами модельной задаче уравнения (4) и (5) позволяют полностью решить вопрос о парах коммутирующих операторов порядков 4 и 6. Установлено в частности, что каноническую форму в этом случае могут определять операторы:
Их общей собственной функцией является, как легко видеть, функция Бесселя нулевого порядка при удовлетворяет уравнению
. (6)
Можно показать, что нечетные (и четные ) приводят, соответственно, к полуцелым и целым значениям , в уравнении Бесселя (6).
Лемма 1. Решения полиномиального уравнения
можно перемножать.
Основным результатом работы является решение полиномиального уравнения (5) при , которое приводит к следующему списку коммутирующих дифференциальных операторов порядков 4 и 6:
Учитывая Лемму 1, рассмотрим более подробно уравнение
(7)
для операторов четвертого и шестого порядков. В этом случае перестановочные многочлены имеют вид:
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим систему уравнений на коэффициенты многочлена Положим . Решая систему, получим следующие многочлены
И переходя к операторам получим дополнительный список коммутирующих дифференциальных операторов
Список литературы:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
1.Шабат А.Б., Эльканова З.С. О коммутирующих дифференциальных операторах// ТМФ. — 2013. — Т. 162(3). — С. 334—344.
2.Burchnall J.L., Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators, II, The identity// Proc. Roy. Soc. London. — 1932. — ser. A, 134 № 824. — P. 471—485.
3.Dixmier J. Sur les algebra de Weyl// Bull Soc. Math 96. 1968. — P. 209—242.
4.Mokhov O.I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients. arXiv: 1303, 4263.