и ширины 
, расположены параллельно друг другу с зазором 
. Верхняя пластина находится под действием нормальной нагрузки 
. При этом на краях пластин 
выполняются условия жесткого закрепления, края 
закреплены шарнирно, а два других края бесконечно удалены или загружены так, что в пластинах реализуется цилиндрический изгиб. Под действием определенной нагрузки первая пластина коснется второй, в результате чего вторая пластина также начнет изгибаться. Предположим, что область контакта 
двух пластин является непрерывной. Требуется определить прогибы пластин и возникающие контактные реакции.
Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Софи Жермен–Лагранжа, см., например [3]. Данное уравнение имеет следующий вид:
Здесь w — прогиб пластины (т. е. перемещение по нормали), 
— нормальная нагрузка, 
— действующие на верхнюю и нижнюю лицевые поверхности пластины нагрузки, 
— цилиндрическая жесткость, h — толщина пластины, E и n — модуль Юнга и коэффициент Пуассона, 
— оператор Лапласа в декартовых координатах.
В случае цилиндрического изгиба 
, поэтому уравнение (1) примет вид
Таким образом, для первой пластины получаем уравнение
,для второй —
.Здесь 
— активная нагрузка, действующая на верхнюю пластину, 
— реакция со стороны второй пластины на первую. В свою очередь 
является нагрузкой, с которой первая пластина давит на вторую.
Граничные условия пластин имеют вид
Здесь соотношения (5)1 – условия жесткого закрепления, (5)2 — условия шарнирного закрепления.
Рассмотрим 
Тогда в соответствии с принципом суперпозиции решения [4] имеем
Для удобства обозначим 
через 
, тогда выражение (6) перепишется следующим образом:
Граничные условия запишутся следующим образом:
В соответствии с подходом статей [1; 5] решение краевой задачи {(7), (8)} будем искать с использованием функции Грина
Здесь 
— функция Хевисайда.
Далее прогиб рассматривается на отрезке . В этом случае он принимает вид
Подставив выражение (10) в (7), получаем, что 
при 
Учитывая, что на лицевые поверхности пластины действует два вида нагрузок: активная 
и реактивная 
получаем, что
при 
Тогда общее выражение для реакции имеет вид
где 
— сосредоточенные реакции на границе области контакта.
Используя соотношение (12), нормальная нагрузка 
записывается в виде
Используя функцию Грина (9), решение краевой задачи {(7), (8)} с правой частью в виде (13) имеет вид
Прогиб 
при 
записывается в виде
Отметим, что выражения (10) и (15) должны совпадать при 
Поэтому приравнивая в правых частях выражений (10) и (15) коэффициенты при одинаковых степенях 
получим следующие уравнения:
Решение системы (16) можно записать в виде
Отметим, что выражения для 
согласуются с полученными в статьях [2; 5].
Используя полученные значения (17), (18) исходные уравнения для прогибов пластин запишутся следующим образом:
В качестве примера на рисунке 1 приведены графики прогибов пластин со следующими физическими и геометрическими параметрами:
· для рис. 1а:
· для рис.1б:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
а б
Рисунок 1. Графики прогибов: —— 
— — — 
Значения граничных точек зоны контакта и сосредоточенные реакции при параметрах (21) будут равны
при параметрах (22):
Список литературы:
1.Ермоленко А.В. Аналитическое решение контактной задачи для жестко закрепленной пластины и основания. В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. — С. 11—17.
2.Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского универси-тета. Сер. 1: Мат. Мех. Инф. — 1999. — Вып. 3. — С. 181—202.
3. Михайловский Е.И., Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1995. — 251 с.
4.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.
5.Филиппова Н.О. Об одной контактной задаче для цилиндрической пластины // Сборник материалов Международной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы технических и математических наук». Украина. Киев. — 2014. — № 4. — С. 39—42.