Научная статья на тему «Математическая гармония цветика-семицветика»

Введение. В 6 классе мы изучали темы «Поворот» и «Центральная симметрия». Я начала присматриваться к деревьям, кустарникам, к комнатным цветам и заметила очень интересную закономерность: если цветок симметричен, то он особенно красив. Я поняла, что красота природы зависит, в том числе, и от того, обладают ли окружающие нас растения симметрией.

Тема моего исследования: Математическая гармония Цветика–семицветика

Цель исследования: проведя систематизацию видов симметрии, на фотоохоте обнаружить представителей флоры, обладающих всеми видами симметрии, а также научиться строить правильные многоугольники.

В связи с поставленной целью определились следующие задачи:

1.Изучить известные материалы (книги, электронные источники и др.) по теме исследования. Ознакомиться с историей изучения симметрии.

2.Рассмотреть виды симметрии и другие виды движения на плоскости

3.Сходить на фотоохоту за симметрией растений и научиться строить правильные многоугольники

Гипотеза: существуют растения, обладающие всеми видами симметрии и другими видами движения на плоскости, можно построить «семицветик»

Методы исследования:

1. Изучение научно-популярной литературы по теме исследования

2. Систематизация полученных знаний

3. Классификация видов симметрии и других видов движения на плоскости

4. Классификация фотоснимков представителей флоры

I. Классификация видов движения фигур на плоскости

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Движением фигур на плоскости называется преобразование фигур, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Движение сохраняет форму и размеры любой геометрической фигуры.

В геометрии рассматриваются следующие виды движения на плоскости: осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос.

Осевая симметрия.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Центральная симметрия.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 .

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Поворот.

Поворотом на плоскости точки А в точку А1 называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из центра О, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Нужна помощь в написании статьи?

Подробнее

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка А отображается в точку А1 так, что = .

II. Из истории изучения симметрии

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В.И. Вернадский (1863—1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений». «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мери и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм». Это слова другого нашего замечательного соотечественника, посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь, академика А.В. Шубникова (1887—1970). Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Таким образом, геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360° : 5), займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты. Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии — повороте, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию — однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы эта симметрия была нарушена!

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии. «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности»,— писал Вернадский. Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха — геометрически симметричными в виде правильных многогранников. И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной, принцип симметрии и через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физических явлений.

Если фигура обладает осевой симметрией, то такая фигура состоит как бы из двух половинок, одна из которых является зеркальным отражением другой.

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая территории на поверхности земли, измеряя расстояния и площади земельных участков, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, использовал свои геометрически знания, полученные из наблюдений и опытов.

Рассмотрим варианты симметрии на примере пар лепестков:

a. — совместимо равные;

b. — зеркально равные;

c. — и совместимо и зеркально равные. Фигуры из пяти лепестков:

d. — расположенных относительно друг друга хаотично;

e. — закономерно.

Нужна помощь в написании статьи?

Заказать статью

III. Фотоохота.

В ходе исследования я начала фотографировать комнатные растении наших школьных кабинетов сначала на телефон. А потом, взяв фотоаппарат, мы с научным руководителем направились в школьную оранжерею, где я постаралась найти растения, обладающие каким-нибудь видом движения.

Во время просмотра отснятых фотографий, я заметила, что большинство растений имеет различные виды симметрии. Я отобрала изображения, которые имеют только осевую симметрию и увидела, что нет растений только с центральной симметрией, или только с поворотом. Я отобрала группу с осевой симметрией и поворотом, но у меня не получилось создать группу только с поворотом и центральной симметрией, или только с осевой и центральной симметрией. Однако, я увидела группу растений, которые обладают всеми видами симметрии, и задумалась, почему это так? Именно поэтому в разделе «Исследование углов поворота» я рассмотрела формы растений и постаралась выявить признаки, по которым можно классифицировать те или иные группы. Таким образом, я выделила 3 группы растений:

1. Растения, обладающие только осевой симметрией

2. Растения, обладающие осевой симметрией и поворотом.

3. Растения, обладающие всеми видами движения на плоскости.

Все фотографии сделаны в оранжерее школы № 177 г. Казани

IV. Исследование углов поворота

При изучении фотоснимков некоторые цветы мне показались более гармоничными, чем другие. Причем именно они по форме напоминали известные нам геометрические фигуры: равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник с равными сторонами. Все эти фигуры являются правильными многоугольниками. Чем точнее эти растения вписывались в многоугольник, тем красивее и гармоничнее они выглядели.

Хотя на уроках математики многоугольники мы ещё не проходили, я попыталась построить правильные многоугольники. Я долго пыталась это сделать при помощи линейки и карандаша. Но у меня почему-то это плохо получалось. И тут я вспомнила, как мой старший брат строил циркулем на чертежах окружности. И меня осенило: а не попробовать ли мне поработать с циркулем? Построив циркулем окружность, тем же раствором циркуля я сделала 6 насечек на окружности. И, о чудо! 6 хорд окружности оказались сторонами правильного шестиугольника. Если эти насечки соединить не подряд, а через одну, то получим правильный треугольник.

Нужна помощь в написании статьи?

Заказать статью

А как же построить с помощью циркуля квадрат? В окружности проведем два перпендикулярных диаметра АВ и КР. Вершины АРКВ образуют квадрат.

Интереснее вопрос, как построить любой правильный n-угольник?

Построение:

1. Берем точку О на плоскости (на листе бумаги). Проводим луч ОА.

2. В n-угольнике n сторон, n углов. Значит, 360º:n градусная мера откладываемых углов от точки О.

3. От луча ОА отложим угол АОВ в 360 : n градусов.

4. От луча ОВ таким же образом отложим угол ВОС, равный углу АОВ, и т. д. Таким образом, мы должны построить n углов.

5. На сторонах данных углов от точки О откладываем равные отрезки.

6. Соединив полученные точки на сторонах углов, получим правильный n-угольник.

Заметим, что центральная симметрия есть только у тех растений, у которых четное число лепестков. То есть, если рассматривать многоугольники, то центральная симметрия есть у многоугольников с четным числом сторон.

V. «Цветик-семицветик»

А как же быть, если нечетное число сторон у многоугольника? Вспомним известную сказку В. Катаева «Цветик-семицветик». У цветка с семью лепестками есть движения: осевая симметрия, поворот, но нет центральной симметрии. И как построить правильный семиугольник? Воспользуемся найденным способом с использованием формулы и транспортира.

Последовательно откладываем от точки О лучи ОА, ОВ, ОС, OD, OE, OF, OG, образующие углы по . На лучах откладываем равные отрезки от точки О. Последовательно соединяем концы отрезков и получаем семиугольник ABCDEFG.

К сожалению, в моей фотоохоте не было «трофея» с семью лепестками, но мне все же удалось найти фотографию «семицветика» в интернет-ресурсах.

Выводы и заключение

Нужна помощь в написании статьи?

Заказать статью

В ходе исследования мне довелось изучить известные материалы (книги, электронные источники и др.) по теме исследования, ознакомиться с историей изучения симметрии, рассмотреть виды симметрии и другие виды движения на плоскости, сходить на фотоохоту за симметрией растений.

В начале исследования была выдвинута гипотеза: существуют растения, обладающие всеми видами симметрии и другими видами движения на плоскости? Сейчас я точно знаю, что существуют растения, обладающие всеми видами симметрии и другими видами движения на плоскости: и осевой симметрией, и центральной симметрией, и поворотом.

Я не только обнаружила представителей флоры, обладающих симметрией, но и выяснила, как научиться строить правильные многоугольники, обладающие этими же свойствами. Кроме того, предложенный мною метод построения правильного n-угольника с помощью транспортира, позволяет выполнять построения при n≥3. Я также смогла построить правильный семиугольник по мотивам сказки В. Катаева «Цветик-семицветик»

Мне эта тема очень понравилась. Наблюдая за растениями, я увидела не только красоту окружающей нас природы, но и поняла, что математика — не сухая наука, а неотъемлемая часть жизни.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С., Геометрия 7—9, М. — Просвещение, 2011, — с. 384

2. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. М., Просвещение, 1996, — с. 180.

3. Урманцев Ю.А. Симметрия в природе и природа симметрии. М., Мысль, 1974, — с. 230.

4. [Электронный ресурс] ― Режим доступа. — URL: http://otherreferats.allbest.ru/biology/00125293_0.html

5. [Электронный ресурс] ― Режим доступа. — URL: http://www.refu.ru/refs/19/3283/1.html

Предыдущий пример

Следующий пример