ABSTRACT
Studied differentiable matrix fields in mehrdimensional space. Matrix differential calculus in this article is based on matrix analysis using the concepts logarithmical gradient and number conditionality linear operator.
Ключевые слова: матричное поле; логарифмический градиент; число обусловленности линейного оператора.
Keywords: matrix field; logarithmical gradient; number conditionality linear operator.
1. Использование результатов линейной алгебры советского периода.
В советской математической энциклопедии в пяти томах нет статьи, посвящённой МДИ. Переводная книга с таким названием [3] появилась уже в российский период отечественной математики. Но отдельные элементы МДИ можно обнаружить даже в учебной литературе советского периода. Так, в учебном пособии Д.В. Беклемишева изложена теория степенных рядов относительно матрицы А [1, c. 77], рассмотрено дифференциальное исчисление матричных функций скалярного аргумента [1, c. 96] с приложением к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В учебнике В.А. Треногина рассмотрены ряды в пространстве линейных операторов [5, c. 120]. В пособии [1] на языке конечных разностей уже получены неравенства, предельный переход в которых после введения разделённых разностей приводит к результатам МДИ. В учебнике [5] по функциональному анализу подобные неравенства приводятся на языке погрешностей [5, c. 230]. Но для предельного перехода предпочтительнее использовать ниже перечисленные неравенства из [1]. Пусть дана система линейных уравнений Ах = b, где А — квадратная матрица порядка n с определителем detA ≠ 0. Рассмотрим возмущённую систему (A + ∆A)(x + ∆x) = b + ∆b. Пусть condA = IIAII·IIA-1II — число обусловленности линейного оператора матрицы А по некоторой норме, δA = ∆A/IIAII — относительное возмущение матрицы А. Тогда [1, c. 123] при условии IIA-1II·II∆AII < 1 будет |δx| ≤ (condA/(1 –condAIIδAII)(IIδAII + |δb|).
Это предложение относится к верхней оценке возмущения решения системы линейных уравнений.
Теперь рассмотрим задачу о нахождении собственных векторов и их собственных значений. Пусть λ — некоторое собственное значение линейного преобразования матрицы А простой структуры, s — скалярное произведение соответствующих собственного вектора и вектора биортогонального базиса. Тогда [1, c. 131] выполняется неравенство |∆λ| ≤ II∆AII/|s|.
Вопрос об обусловленности определителя квадратной матрицы рассмотрен в монографии С.К. Годунова [2, c. 147]:
|δdetA| ≤ n condAIIδAII/(1 – n condAIIδAII).
Проведём теперь предельный переход в рассмотренных неравенствах с целью выхода на МДИ. Рассмотрим дифференцируемое в смысле монографии [3, c. 134] матричное поле А(ξ) в евклидовом пространстве n переменных (ξ1, ξ2,…,ξn). Введём понятие градиента gradА(ξ) матричного поля А(ξ) как блочную матрицу, образованную упорядоченными градиентами всех её строк [3, c. 125]. Логарифмический градиент определяем по следующей формуле: l lngradA(ξ) = gradA(ξ)/IIA(ξ)II.
Аналогично вводится понятие логарифмического градиента скалярного и векторного полей. Тогда предельный переход при ∆ξ→0 в соответствующих разделённых разностях приводит к следующим утверждениям:
IIlngrad xII ≤ condA(IIlngradAII + IIlngrad bII),
|lngrad λ| ≤ IIlngradAII/|s|,
|lngrad detA| ≤ n condAIIlngradAII.
2. Матричный аналог логарифмической производной.
В этом пункте излагаются результаты автора [4] по исследованию свойств логарифмического градиента. Все они являются естественным аналогом следующих свойств логарифмической производной (ln y)’ = y’/y: 1) значение логарифмической производной сохраняется при переходе к обратной функции, 2) логарифмическая производная произведения двух функций равна сумме их логарифмических производных, 3) предельная относительная погрешность функции при неточном указании значения её аргумента равна абсолютной величине произведения логарифмической производной и приращения аргумента.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Свойство 1. Для невырожденной матрицы А выполняется тождество
IIlngradAII/IIlngradA-1II = condA.
Свойство 2. Для невырожденных матриц одного порядка выполняется неравенство
IIlngrad(AB)II ≤ (IIlngradAII + IIlngradBII)condA condB/cond(AB).
Свойство 3. Величина IIlngradA(ξ)II·I∆ξI служит предельной относительной погрешностью возмущения ∆А матричного поля А(ξ), вызванного изменением ∆ξ аргумента.
Доказательство этих свойств проводится по образцу рассуждений [1, c. 122] и [2, c. 144].
3. Градиентные неравенства.
Как известно [1,c.133], при отсутствии кратных собственных значений у матрицы А будет 1/IsI ≤ condA. И тогда оценка модуля логарифмического градиента собственного значения принимает вид
Ilngrad λI ≤ condAIIlngradAII.
Здесь мы докажем ещё одно подобное неравенство для скалярной функции матрицы А.
Свойство 4. Для скалярного поля обусловленности condA(ξ) выполняется неравенство
| | lngrad(condA)| ≤ (1+1/condA)IIlngradAII.
Доказательство. Так как по свойству обычного градиента скалярного поля
grad(condA) = (gradIIAII)IIAII + (gradIIA-1II)IIA-1II,
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
то при делении на condA = IIAII·IIA-1II получаем самостоятельное свойство
lngrad(condA) = lngradIIAII + lngradIIA-1II.
Теперь остаётся использовать свойство I(lngradIIAII)I ≤ IIlngradAII и свойство 1.
Если ещё вспомнить неравенство для логарифмического градиента определителя, то мы получим уже три реализации градиентного неравенства общего вида
|lngradf(A)| ≤ g(condA)IIlngradAII,
где: f и g — скалярные функции своих аргументов.
Список литературы:
Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983. — 336 с.
Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997. — 389 с.
Магнус Я.Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. Пер. с англ. / Под ред. С.А. Айвазяна. М.: Физматлит, 2002. — 496 с.
Пешкичев Ю.А. Матричный аналог логарифмической производной // Образование и наука: Проблемы и перспективы развития. Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. Махачкала, 2014. — С. 208—211.
Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. 3-е изд., испр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 488 с.