Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Мембраны в многомерном пространстве»

АННОТАЦИЯ. Моделируются виртуальные движения мембран на основе рассмотрения связанных с ними скалярных полей.

Помощь в написании статьи

ABSTRACT

Simulated virtual movement of the membranes based on the consideration of the associated scalar fields.

Ключевые слова: плосковыпуклая линза; веретенообразная область; скалярное поле; поверхность уровня.

Keywords: plano-convex lens; fusiform region; scalar field; surface level.

В современной теоретической физике рассматриваются колебания струн и мембран в многомерном пространстве. При этом до последнего времени не были задействованы результаты по геометрической теории скалярного поля в многомерном евклидовом пространстве. С целью устранения наметившейся диспропорции в статье моделируется виртуальное движение мембран на основе связанных с ними скалярных полей. При этом используется новая методика исследования гладкого скалярного поля, разработанная автором в книге [5]. В трёхмерном пространстве порождающее скалярное поле можно выбрать так, что получится фаза реального колебания мембраны. Струна рассматривается как предельный случай мембраны веретенообразного типа. Общее понятие о струнах и мембранах здесь достаточно представлять по книге С. Габсера [2]. Примеры же современного математического подхода к колебаниям мембран содержатся в статье Г.М. Глинского [3]. А необходимые для доказательств сведения по вещественному анализу содержатся в лекциях Б.М. Макарова и его соавтора А.Н. Подкорытова [4].

1. Плосковыпуклая линза как заметаемая область В многомерном евклидовом пространстве ℝⁿ c декартовыми координатами x1, x2,…,xn рассмотрим также цилиндрические координаты (ρ, φ, z), где z = xn и (ρ, φ) — сферические координаты в гиперплоскости xn = 0. Линзой в многомерном пространстве ℝⁿ назовём открытую область

G = {xℝⁿ: ρ < 1, 0 < z < g(ρ)},

где g(ρ) — гладкая функция на отрезке 0 ≤ ρ <1, убывающая на нём до нуля. Основанием линзы G служит диск

Ω = {x ℝⁿ : ρ < 1, z = 0}.

Верхней же поверхностью введённой линзы G является гиперповерхность

S = {xℝⁿ: ρ < 1, z = g(ρ)}.

Рассмотрим в области G гладкое скалярное поле

u(M) =

c нулевым граничным значением на основании Ω и единичным граничным значением на верхней поверхности S, для которого поверхность уровня u-1(r) гомеоморфна основанию Ω. При увеличении параметра r от нуля до единицы рассматриваем теперь гиперповерхности u-1(r) как положения m(r) мембраны ρ при её виртуальном движении из исходного положения Ω в конечное положение S. Линза G представляет тогда собой заметаемую мембраной часть пространства ℝⁿ. В случае реальных малых колебаний круглой мембраны в физическом пространстве одна из стоячих волн порождается скалярным полем

u(M) = arcсos ,

где: , J() — функция Бесселя первого рода порядка ноль,

— её первый корень,

— малое положительное число. Геометрическая теория функций предлагает несколько числовых характеристик виртуального движения мембраны, использование здесь которых основано на интегральном свойстве градиента скалярного поля

известном как теорема о послойном интегрировании (криволинейная теорема Фубини, теорема А.С. Кронрода-Г. Федерера [4, c. 391]). Процесс виртуального движения мембраны характеризуется интегралом Дирихле

D(u,G) = ⁿdG.

При этом проявляется след интеграла Дирихле на поверхности уровня скалярного поля

для которого по теореме о послойном интегрировании выполняется равенство

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

D(u,G) =

Упомянутый процесс виртуального движения мембраны характеризуется также модулюсом ModΣ семейства Σ всех поверхностей уровня u-1(r), где

ModΣ = inf ⁿdG,

а весовая функция берётся здесь точная нижняя грань, для почти всех значений r (0,1) обладает свойством

Формально весовая функция является скалярным полем, однако без требования гладкости и без рассмотрения его градиента. Особую роль в определении модулюса играет экстремальная весовая функция

(М) = |gradu|/D(u,G,r)1/(n-1).

В самом деле, так как для почти всех значений r (0,1) выполняется неравенство

то по теореме о послойном интегрировании получается верхняя оценка

ModΣ ≤ (M)ⁿdG =

=1/(1-n)dr.

C другой же стороны, для всякой допустимой в определении модулюса функции (М) при почти всех значениях r (0,1) будет

что следует из тождества

(М) |gradu|1/n(M)/|gradu|1/n

после применения неравенства Гёльдера к поверхностному интегралу

По теореме о послойном интегрировании

(М)ⁿdG ≥ 1/(1-n)dr.

В результате у нас получается вычислительная формула для модулюса

ModΣ = 1/(1-n)dr.

Виртуальное движение мембраны можно охарактеризовать также ещё интегралом кривизны скалярного поля u(M) в области G

J(u,G) = n/(n-1)dG,

где: k — полная кривизна поверхности уровня u-1(r) в точке М u-1(r).

Теорема. Если рассмотреть гауссово изображение N(r) поверхности уровня u-1(r) на сфере единичного радиуса в ℝⁿ, то

J(u,G)n-1D(u,G) ≥ ( n-1N(r)dr)ⁿ.

Доказательство. Так как полная кривизна поверхности уровня u-1(r) служит касательным якобианом гауссового отображения

N: u-1(r) {x ℝⁿ: |x| = 1},

то для почти всех значений r (0,1) выполняется неравенство

По теореме о послойном интегрировании тогда

n-1N(r)dr ≤ |k|dG.

Далее остаётся применить неравенство Гёльдера в кратном интеграле.

2. Веретенообразная область заметания

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Пусть теперь открытая область G в ℝⁿ, заметаемая мембраной при её виртуальном движении, ограничена поверхностью вращения = g(|z|). Упомянутое вращение происходит вокруг оси координат Oxn в случае нечётного числа n. Тогда область G будет задана условием

G = {x ℝⁿ: 0 < |z| < 1, < g|(z|)}.

Стержнем области G назовём отрезок

L = {x ℝⁿ: |z| < 1, =0}.

При этом поверхность веретенообразной области G задаётся условием

S = {xℝⁿ: 0 <|z| < 1, = g(|z|)}.

Рассмотрим в области G гладкое скалярное поле

u(M) =

c нулевым граничным значением на стержне L и единичным граничным значением на поверхности S. При этом все поверхности уровня u-1(r) гомеоморфны поверхности S, кроме значения r = 0, когда поверхность уровня сворачивается в стержень L. При увеличении параметра r от нуля до единицы мембрана m(r) совершает виртуальное движение из своего сингулярного положения L в обычное положение S. Используя теперь терминологию книги [2, c. 136], мы отмечаем новый тип сворачивания D(n-1) — браны в D1 — брану. Виртуальное движение рассмотренного типа мембран можно так же охарактеризовать перечисленным в п. 1 набором числовых характеристик. В физическом трёхмерном пространстве такой тип колебаний мембраны, скорее всего, вообще не рассматривался.

3. Заполненный тор вращения с (n-1) — мерным сечением в форме серповидной линзы как заметаемая область

Для катеноида в ℝⁿ, имеющего уравнение (|z|), рассмотрим открытую область

G = {xℝⁿ: |z| < a, (|z|)< + g(|z|/a)},

где функция (t)взята из п. 1. Для 4≤n≤26 приведённое определение будет корректно при достаточно малом значении а > 0 [1]. Затем порождающее скалярное поле определяем формулой

u(M) = 1/(1 + g(|z|/a)/(|z|)).

Тогда при увеличении параметра r от нуля до единицы гиперповерхность u-1(r) совершает виртуальное движение из положения на катеноиде до своего предельного возмущённого положения. В физическом трёхмерном пространстве катеноид как мембрана рассмотрен в работе [3], где для него получено дифференциальное уравнение колебаний.

Список литературы:

Веденяпин А.Д., Миклюков В.М. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей // Математ. сб. — 1986. — Т. 131 (173). — № 2(10). — С. 240—250.

Габсер С. Маленькая книга о большой теории струн. — СПб. : Питер, 2015. — 208 с.

Глинский Г.М. К теории малых колебаний произвольно искривлённых мембран // ЖТФ. — 2000. — Т. 70. — Вып. 1. — С. 10—14.

Макаров Б.М. Лекции по вещественному анализу / Б.М. Макаров, А.Н. Подкорытов. — СПб.: БХВ – Петербург, 2011. — 688 с.

Пешкичев Юрий. Кривизна в теории поля. Скалярные и векторные поля на плоскости и в многомерном пространстве. LAP LAMBERT Academic Publishing (2015.04.15). — 104 c.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

393

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке