ABSTRACT
The article studies a boundary value problem for a differential operator of odd order with summable potential with irregular boundary conditions. An equation on eigenvalues was established; an indicator diagram was studied; asymptotics of eigenvalues of the boundary value problem in question was found.
Ключевые слова: Дифференциальный оператор, краевая задача, индикаторная диаграмма, собственные значения, асимптотика решений.
Keywords: differential operator; boundary value problem; indicator diagram; eigenvalues; asymptotics of solutions.
Изучим следующую краевую задачу для дифференциального оператора седьмого порядка:
(1)
с многоточечными граничными условиями
(2)
в предположении, что потенциал 
является суммируемой функцией на отрезке 
: 
почти всюду на отрезке . (3)
Пусть 
, причём зафиксируем ту ветвь арифметического корня, дл я которой 
. Пусть 
, т.е. 
— различные корни седьмой степени из единицы:
(4)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Впервые дифференциальные операторы (второго порядка) с суммируемым потенциалом изучались в работах [1], [2].
Методами работ [3—5] доказывается следующее утверждение.
Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
(5)
где: 
— произвольные постоянные, причём при 
справедливы следующие асимптотические формулы:
(6)
(7)
(8)
(9)
Из формул (7)—(9) видно, что
(10)
Из формул (5) – (10), используя граничные условия (2), получаем:
(11)
Система (11) — однородная система из семи линейных уравнений с семью неизвестными 
. Из метода Крамера следует, что такая система имеет ненулевое решение 
только в том случае, когда её определитель равен нулю. Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1)—(2) с условием суммируемости потенциала (3) имеет следующий вид:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(12)
причём асимптотики функций 
определены формулами (6)—(10).
Подставляя формулы (6)—(7) в уравнение (12), разлагаем определитель 
на сумму определителей по столбцам, находим:
(13)
где
(14)
, где 
получается из определителя 
из (14) заменой 
-го столбца на столбец 
, при этом в (14) введено обозначение
. (15)
Основное приближение уравнения (13)—(15) имеет вид 
. (16)
По правилам вычисления определителей имеем:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(17)
при этом коэффициент 
, т. к. перестановка чисел 
четная, коэффициент 
в силу того, что перестановка чисел 
нечётная.
В общем виде уравнение (14)—(17) можно выписать в следующем виде:
(18)
где: 
, 
— знак перестановки чисел 
, при этом 
при 
.
Из общей теории нахождения асимптотики корней уравнений вида (12)—(13) (см. [6, глава 12]) следует, что необходимо изучить индикаторную диаграмму уравнения (14) (или, что то же самое, уравнения (18)).
Для изучения индикаторной диаграммы необходимо ответить на два вспомогательных вопроса: 1) когда достигается 
и 2) когда достигается 
? Имеем:
(19)
при этом в силу формулы (4) получаем:
(20)
(21)
причём 
Из формул (19)—(21) нетрудно сообразить, что достигается, если 
(всего 8 комбинаций) и равен он 
, а будет в случае 
и равен он 
(всего одна точка). Изучая эти восемь комбинаций, получаем вертикальный отрезок индикаторной диаграммы уравнения (18): точки 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, где 
, при этом эти точки соответствуют таким перестановкам чисел 
: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Понятно, что вторые координаты этих точек вычисляются в точном виде:
;
, и т. д.
Точка 
, которой соответствует , имеет координаты 
, получается при перестановке 
.
Изучая более подробно индикаторную диаграмму, выясняем, что она представляет собой 14-ти-угольник (правильный!!!) 
, 
совпадает с точкой 
, 
совпадает с точкой 
, 
совпадает с точкой , причём все эти точки расположены на окружности с центром 
и радиусом 
.
Из общей теории (см. [6, глава 12]) следует, что корни уравнения на собственные значения (т. е. корни уравнения (13)—(15)) находятся в 14-ти секторах бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам индикаторной диаграммы.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Изучим асимптотику собственных значений в секторе 
, который соответствует вертикальному отрезку индикаторной диаграммы. Из общей теории следует, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Уравнение на собственные значения в секторе записывается в следующем виде:
(22)
Если элементы определителя из (12) обозначить 
, где 
, то с помощью формулы (14) обнаруживается следующее соответствие: 
. Поэтому уравнение (22) можно переписать в следующем виде:
(23)
Перегруппировывая слагаемые, уравнение (23) можно записать в следующем, более удобном виде:
(24)
Таким образом, уравнение (22) на собственные значения в секторе 
имеет следующие решения:
(25)
Например, первые из уравнений в (25) можно выписать более подробно:
(26)
Более подробно уравнение (26) в силу формул (6) – (7) выглядит так:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(27)
Изучая уравнение (27) методами работ [3] — [5], доказываем утверждение.
Теорема 4. Асимптотика собственных значений краевой задачи (1)—(2)—(3) в секторе (серия 1) имеет следующий вид:
(28)
причём
(29)
Формулы, аналогичные формулам (28) и (29), справедливы и для остальных секторов и серий.
В работе [7] изучалась аналогичная задача для оператора четвёртого порядка с гладким потенциалом.
Список литературы:
1.Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, — № 10. — С. 1423—1426.
2.Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. — 2000. — Т. 64, — № 4. — С. 47—108.
3.Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами. Вестник Московского университета. Сер.1, математика, механика. — 2009. — № 3. — С. 14—17.
4.Митрохин С.И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с интегрируемыми коэффициентами. Дифференциальные уравнения, — 2010. — Т. 46, — № 8. — С. 1085—1093.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
5.Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечётного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения, — 2011. — Т. 47, — № 12. — С. 1808—1811.
6.Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. — 548 с.
7.Белабасси Ю. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестник Московского университета. Серия: математика. — 1981. — № 2. — С. 35—41.