ABSTRACT
In the article the stated problem is the problem of minimization of quadratic functional while finding the solution of the Dirichlet boundary value problem for the thermal conductivity equation. For the purpose of study of the given optimization objective there is the Lagrange multiplier method used. Such approach allows getting the necessary criteria of optimality. Based on those conditions there is elicited the integro-differential equation of Riccati with partial derivatives. The solution for this equation is expressible in an essentially closed form.
Ключевые слова: дельта-функция Дирака; интегро-дифференциальное Риккати; метод множителей Лагранжа; необходимые условия оптимальности; оптимальное управление; процесс теплопроводности.
Key words: delta function of Dirac; integro-differential equation of Riccati; Lagrange multiplier method; necessary criteria of optimality; optimal control; process of thermal conductivity.
Введение
В теории оптимального управления линейно-квадратическая задача играет весьма существенную роль. Она возникает при построении оптимального управления по принципу обратной связи [6], при нахождении оптимальных фильтров Калмана-Бьюси [7] , в теории дифференциальных игр [3]. С каждой такой задачей непосредственно связано матричное дифференциальное или алгебраическое уравнение Риккати. В случае, когда исследуются системы с сосредоточенными параметрами, это уравнение изучено достаточно полно. Для систем с распределенными параметрами ситуация является не столь однозначной. Например, в монографии [4] рассматриваются операторные уравнения Риккати, исследуемые методами функционального анализа. В монографиях [1], [2], [8] данный вопрос не рассматривается. Настоящая статья посвящена исследованию линейно-квадратической задаче оптимального управления процессом теплопроводности. С использованием методом множителей Лагранжа для рассматриваемой задачи оптимизации получены необходимые условия оптимальности. С их помощью построено интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными, решение которого представлено замкнутой форме.
Постановка задачи
Рассматривается задача минимизации функціонала
(1)
на решениях следующей краевой задачи
, (2)
, (3)
где действительные числа 
, на котором реализуется минимум функционала (1), називается оптимальным управлением.
Необходимые условия оптимальности
Необходимые условия оптимальности для сформулированной выше задачи оптимизации можно найти с помощью метода множителей Лагранжа [5, с. 31]. Для этого рассмотрим следующий вспомогательный функціонал
, (4)
где функция 
функционала (4)
. (5)
В развернутом виде соотношение (5) запишется следующим образом
.
. (6)
После очевидних упрощений (раскрытия скобок, интегрирования по частям и та приведения подобных членов) вместо равенства (6) получим следующее соотношение
.
. (7)
При получении соотношения (7) учтено, что 
. Принимая во внимание все вышеупомянутые замечания, приходим к следующему выводу.
Теорема 1. Оптимальное управление в задаче (1)-(3) единственно и определяется из соотношений
(8)
где функция
— множитель Лагранжа.
Доказательство. Необходимое условие экстремума функционала (4) — равенство нулю его первой вариации. Такое условие будет выполнено, если имеют место следующие соотношения
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
,
.
Если к этим равенствам присоединить еще условия(3), то получим систему соотношений (8). В случае выполнения равенств (8) выражение (7) примет вид
.
При условии 
. Следовательно, теорема 1 полностью доказана.
Исследование системы уравнений (8)
Используя соотношение 
получим следующую систему уравнений
. (9)
Ищем функции в следующем виде
. (10)
Тогда имеем
. (11)
. (12)
С учетом соотношений (10)—(12) вместо системы уравнений (9) получим бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
(13)
Если рассмотреть матрицу
, (14)
то ее собственные числа равны: 
. Им
соответствуют собственные векторы 
,
где 
, будет таким
. (15)
Построение решения интегро-дифференциального уравнения Риккати
Полагая в этих соотношениях 
, получим
,
.
Принимая во внимание условие 
, имеем
.
Отсюда непосредственно находим
. (16)
Если ввести обозначение
, (17)
то соотношение (16) можно переписать так: 
являются решениями уравнений
(18)
и удовлетворяют условиям
. (19)
После нахождения функций рассмотрим следующее выражение
. (20)
Имеют место следующие соотношения
, (21)
, (22)
, (23)
. (24)
С учетом равенств (21)—(24) легко проверить, что функция 
является решением интегро-дифференциального уравнения Риккати с частными производными
(25)
и удовлетворяет дополнительным условиям
. (26)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Функция 
есть решением интегро-дифференциального уравнения и удовлетворяет дополнительным условиям (26).
Поскольку имеют место соотношения 
получаем следующую формулу
, (27)
где функция 
является решением интегро-дифференциального уравнения
(28)
и удовлетворяет дополнительным условиям
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
. (29)
В результате этих рассуждений приходим к следующему заключению.
Теорема 3. Если известна функция можно найти с помощью формулы (27), в которой функция является решением краевой задачи (28)—(29).
Список литературы:
1.Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965 — 476 с.
2.Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975 — 568 с.
3.Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. — Київ: Наукова думка, 1994 — 320 с.
4.Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
5.Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977 — 480 с.
6.Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1971 — 396 с.
7.Donald E. Kirk. Optimal control theory. An introduction. — Dover Publications, Inc., 1998. — 452 p.
8.Goss J.D. Optimal control theoretic methods for optimization and regulation of distributed parameter systems. — The university of Texas at Arlington. May, 2009. — 155 p.
9.Naidu D.S. Optimal control systems. (Electrical engineering textbook series) — CRC PRESS — Boka Raton London — New York — Washington, D. C. — 2003. — 433 p.