).
На рис. 1 показана схема установки для моделирования токовых неустойчивостей и процессов самоорганизации в полупроводниках [1, с. 5]. Полупроводниковый элемент, состоящий из трёх областей, подключён к источнику постоянного тока: n-область — область, изготовленная из примесного полупроводника n-типа; p-область — область, изготовленная из примесного полупроводника p-типа; i-область — область, состоящая из собственного полупроводника. Будем считать проводимости примесных полупроводников p- и n-типа гораздо больше проводимости собственного полупроводника; это значит, что падение напряжения происходит только в i-области.
Рисунок 1. Схема экспериментальной установки
Поставим задачу об отыскании распределения концентрации носителей заряда в полупроводнике, находящемся в сильном электрическом поле. Для определённости будем рассматривать собственный полупроводник. Как известно, уравнения, которым подчиняются концентрации носителей заряда, имеют вид уравнений непрерывности [3, с. 28]. Запишем уравнения непрерывности для двух типов носителей электрического тока в полупроводнике:
, (1)
где n — концентрация электронов,
p — концентрация дырок,
e — элементарный заряд,
— плотность электронного тока,
— плотность дырочного тока,
f — суммарная скорость тепловой генерации и фотогенерации носителей заряда,
— скорость рекомбинации электронно-дырочной пары,
— скорость генерации носителей заряда за счёт столкновения с электронами,
— скорость генерации носителей заряда за счёт столкновения с дырками,
— суммарная скорость Оже-рекомбинации. Вычитая из первого уравнения системы (1) второе, получим:
(2)
Будем рассматривать стационарное распределение электронов и дырок. При этом 
и уравнение (2) переходит в:
(3)
Для простоты будем рассматривать одномерную задачу, когда все величины, входящие в уравнение, зависят только от одной переменной (x). Предположим, что полупроводник имеет длину, равную l. Систему координат и направление электрического поля выберем, как показано на рис. 1. В этом случае имеем следующие выражения: n=n(x), p=p(x), 
. Отсюда следует, что полный электрический ток не зависит от координаты:
(4)
Как известно, плотность электрического тока складывается из плотности полевого и диффузионного токов [3, с. 29]. В таком случае для плотности электронного и дырочного тока можно записать следующие выражения:
, (5)
где Dn и Dp — коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно.
В рассматриваемом нами одномерном случае эти уравнения в проекции на ось x примут следующий вид:
. (6)
В сильных электрических полях, очевидно, можно пренебречь диффузионным током по сравнению с полевым. При этом уравнения (6) преобразуются к виду:
. (7)
Т.к. в сильном электрическом поле наступает явление насыщения, то можно положить vn(x)=vp(x)=v=const. Используя данное равенство, складывая уравнения системы (7) с использованием формулы (4), получим:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
. (8)
Для простоты рассмотрим случай, когда свойства электронов и дырок одинаковы, т. е., когда s1=s2=s и β1=β2=β. Для краткости будем рассматривать только уравнение на концентрацию дырок в полупроводнике, которое в данном случае принимает вид:
, (9)
или, переходя к одномерному случаю, имеем:
. (10)
Для удобства дальнейшего анализа этого уравнения перейдём к безразмерным переменным при помощи формул: 
. Выражая из данных равенств n и p и подставляя их в уравнение (10), получим:
. (11)
В процессе введения безразмерных переменных 
обезразмеривающий параметр n0 остался неопределённым. Для удобства n0 можно выбрать так, чтобы выполнялось следующее условие:
. (12)
Отсюда для n0 получим:
. (13)
Вычисления показывают, что n0=1.57143* 1016 см-3.
После всего этого уравнение (11) примет вид:
. (14)
Используя соотношение (7) при условии постоянства скорости движения носителей заряда и деля обе части уравнения (14) на 
, получим:
.
Для дальнейшего упрощения уравнения можно также обезразмерить и координату с помощью формулы 
. Подставив x в предыдущее уравнение, приведём его к следующему виду:
.
Для удобства обезразмеривающий параметр x0 выберем так, чтобы он удовлетворял соотношению:
. (15)
Из данного выражения получим:
(16)
Вычисления показывают, что x0=57851,2 см. После всех этих манипуляций уравнение на концентрацию дырок в полупроводнике можно представить в виде:
. (17)
Представим также и уравнение (8) в обезразмеренном виде:
. (18)
Для дальнейшего анализа удобно ввести новую переменную y следующим образом:
. (19)
При этом видно, что уравнение (18) выполняется автоматически. Подставив данные выражения в уравнение (17) и заменяя частную производную полной, получим:
.
Поделив обе части уравнения на 
и собирая в правой части слагаемые по степеням y, придём к следующему результату:
. (20)
Для краткости константы в уравнении (20) обозначим следующим образом:
. (21)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
В таком случае окончательно уравнение (20) приведётся к виду:
(22)
Из формул (21) видно, что коэффициент 
. Коэффициенты же ударной ионизации не являются постоянными величинами. Они сильно зависят от напряжённости электрического поля. Эта зависимость описывается следующей аппроксимационной формулой [1, с. 5]:
, (23)
где Ci и bi — постоянные, определяемые экспериментальным путём, а E — величина электрического поля, приложенного к полупроводниковому образцу. Для электронов и дырок необходимые коэффициенты равны: 
[1, с. 5—6].
С учётом граничных условий на функцию y получаем следующую систему уравнений:
. (24)
Данная система будет иметь существенно различные решения в зависимости от знака величины 
получим следующее уравнение:
. (25)
Рисунок 2. Возможные стационарные решения
Домножением на , которое имеет вид:
, (26)
где введены следующие обозначения:
. (27)
Вообще говоря, алгебраическое уравнение третьей степени по теореме Безу имеет 3 различных корня. Нас в данном случае интересуют только действительные положительные корни. Проанализируем поведение функции 
. Для этого исследуем её на экстремум, определив положение максимумов и минимумов:
. (28)
Приравняв производную к нулю и решая полученное квадратное уравнение, получим значение точек экстремума:
Рисунок 3. Примерный вид графика функции F(j)
. (29)
Отсюда видно, что максимум лежит в отрицательной области, а минимум — в положительной, причём
выглядит примерно следующим образом (рис. 3). Получается, что уравнение (26) может иметь либо один положительный вещественный корень и два комплексно-сопряжённых, либо один положительный вещественный корень и два отрицательных. Интересующий нас положительный корень можно выразить аналитически при использовании формул Кардано.
В рассматриваемом случае свойства электронов и дырок считаются одинаковыми, поэтому можно принять, что 
является монотонно возрастающей.
Таким образом, каждому значению электрического поля соответствует определённое значение критического тока:
Рисунок 4 . Критический ток
Заранее известно значение электрического поля, приложенного к полупроводниковому образцу, но не тока, протекающего через него, поэтому придётся рассматривать отдельно два случая: 
соответственно. Решения системы (24) в каждом из этих случаев будут существенно различаться. Это значит, что будет отличаться закон распределения концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Теперь найдём закон распределения концентрации носителей заряда, решив систему уравнений (24).
1. Случай слабых токов. 
. Система (24) примет вид:
(30)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Данная система допускает аналитическое решение, которое выглядит следующим образом:
. (31)
Используя данное решение, можно найти вольт-амперную характеристику полупроводникового элемента. Для этого зададим граничные условия, которые имеют вид:
, (32)
где pn — концентрация дырок в n-области, а np — концентрация электронов в p-области. Записывая выражения для удельной проводимости n- и p-областей, получим [2]:
, (33)
где σn — удельная проводимость n-области,
σp — удельная проводимость p-области,
µn — подвижность электронов,
µp — подвижность дырок.
Из данных равенств для концентраций nn и pp получим следующие выражения:
. (34)
Считая удельные проводимости n- и p-областей одинаковыми (
[2], получим:
. (35)
Перепишем граничные условия (32) на языке функции 
можно получить следующее условие:
, (36)
где 
.
Рисунок 5. Вольт-амперная характеристика в случае слабых токов
В первом приближении подвижности электронов и дырок можно считать одинаковыми, т.е. 
. Тогда уравнение (36) примет вид:
. (37)
Расписывая это уравнение с использованием выражения (31) и учитывая зависимость коэффициентов A и B от E и 
имеются области с неизвестным законом распределения концентрации носителей заряда. В остальных же областях эта зависимость описывается аналитически формулами (19) при учёте формулы (31).
2. Случай сильных токов. . Система (24) будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 6. Концентрация носителей заряда в случае слабых токов
. (38)
Данная система, как и в первом случае, допускает аналитическое решение, которое имеет вид:
. (39)
Как и в первом случае из данного решения можно получить вольт-амперную характеристику полупроводникового элемента. Используя граничные условия (32), для отыскания вольт-амперной характеристики, получим снова уравнение (36). Считая подвижности электронов и дырок одинаковыми, перейдём к уравнению (37). Это уравнение, как и в случае 1, определяет неявную функцию, которая связывает и E. График этой функции, построенный с помощью программы Mathematica 6.0, показан на рис. 7.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Рисунок 7. Вольт-амперная характеристика в случае сильных токов
Интересно заметить, что вольт-амперные характеристики полупроводникового элемента в обоих случаях практически совпадают. Это связано с тем, что толщина i-слоя l много меньше обезразмеривающего параметра x0 (
, и при разложении в ряд Тейлора выражения (31) и (39) переходят с учётом введённых переобозначений в:
(40)
Таким образом, получаем, что при малой толщине i-слоя, концентрации электронов и дырок линейно меняются вдоль полупроводникового элемента. Нетрудно догадаться, что в случае 
— убывающей. Построим распределение концентрации носителей заряда в каждом из этих случаев в отдельности:
а) 
). На рис. 8 приведён график зависимости концентрации носителей заряда от координаты в этом случае;
Рисунок 8. Концентрация носителей заряда в случае сильных токов а)
б) 
). Качественно график зависимости концентрации электронов и дырок от координаты приведён на рис. 9.
Рис. 9. Концентрация носителей заряда в случае сильных токов б
В случае а), как видно концентрация дырок возрастает вдоль полупроводникового элемента, а концентрация электронов соответственно убывает, как и следовало ожидать. В случае б) имеем обратную ситуацию: концентрация дырок убывает, а концентрация электронов возрастает с координатой вдоль собственного полупроводника.
3. Случай критического тока. 
. Система (24) примет следующий вид:
(41)
Решение данной системы выглядит следующим образом:
(42)
График зависимости концентрации носителей заряда от координаты приведён на рис. 10.
Рисунок 10. Концентрация носителей заряда в случае критического тока
Видно, что в данном случае концентрация дырок возрастает с ростом координаты 
вдоль собственного полупроводника, а концентрация электронов соответственно убывает. Таким образом, можно сделать вывод о том, что качественно данный случай ничем не отличается от случая 2а). Разница заключается только в количественной зависимости концентрации носителей заряда от координаты.
Рассмотренные четыре случая полностью охватывают все возможные варианты распределения электронов и дырок в полупроводнике при условии, что все коэффициенты, характеризующие свойства электронов и дырок, одинаковы.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Заключение.
В заключении работы подведём основные итоги проведённого исследования процессов самоорганизации в полупроводниках в сильном электрическом поле.
1. Предложена схема экспериментальной установки для моделирования процессов самоорганизации и токовых неустойчивостей в полупроводниках в сильном электрическом поле.
2. Предложена математическая модель процессов самоорганизации в полупроводниках в сильном электрическом поле.
3. Найдены возможные стационарные распределения концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике в области электрических полей, близких к пробивному.
4. Получена зависимость критического тока от величины электрического поля для кремниевого полупроводника.
5. Теоретически рассчитаны вольт-амперные характеристики полупроводникового лавинного диода для случая слабых и сильных токов, которые оказались практически совпадающими.
6. Проведён теоретический анализ возможных распределений концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике.
Список литературы:
1.Кузнецов В.С., Кузнецов П.А. Пространственная самоорганизация свободных носителей тока в электрических полях // Научный журнал «Вестник ЯрГУ. Серия Естественные и технические науки». Ярославль, 2011. № 2.
2.Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1985.
3.Шёлль Э. Самоорганизация в полупроводниках. М.: Мир, 1991.