Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Развитие понятия обусловленности линейного оператора с целью его применения в поливекторном анализе»

АННОТАЦИЯ. Развивается теория обусловленности линейного оператора с целью построения поливекторного анализа на основе поливекторной алгебры.

Помощь в написании статьи

ABSTRACT

In the article there is developed the causality theory of linear operator for the purpose of constructing a polyvector analysis on the basis of polyvector algebra.

Ключевые слова: обусловленность, поливектор, норма матрицы, линейное отображение, сингулярные числа.

Keywords: causality; polyvector; norm of a matrix; linear mapping; singular values.

Поливекторная алгебра изложена в учебнике [3]. Для развития на её основе поливекторного анализа потребовалось привлечение понятия обусловленности линейного оператора, разработанного в рамках квазиконформного анализа [4]. Такое же понятие возникло и в теории устойчивости систем линейных алгебраических уравнений [1]. В данной статье использованы оба подхода к понятию обусловленности.

1. Обусловленность в теории устойчивости систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим число обусловленности μ(А) = ||A||·||A-1|| невырожденной квадратной матрицы А порядка n на основе спектральной нормы. Если рассмотреть сингулярные числа σ1 ≥ σ2 ≥ …≥ σn, то ||A|| = σ1, μ(A) = σ1/σn. Но в таком случае

(||A||n/|detA|)1/(n-1) ≤ μ(A) ≤ ||A||n/|detA|.

Очевидно, что при этом μ(А) = μ(А-1) ≥ 1. Как показано в учебнике [1, c. 124], μ(АВ) ≤ μ(А)μ(В). В научной литературе можно найти оценки обусловленности суммы матриц. Здесь мы сделаем это для положительно определённых матриц. Нам понадобится неравенство Минковского для определителей

det(A+B)1/n ≥ detA1/n + detB1/n.

C его помощью получаем

μ(A+B)1/n ≤ (||A||+||B||)/det(A+B)1/n ≤ μ(А)(n-1)/n + μ(B)(n-1)/n.

Число обусловленности μ(А) — коэффициент искажения длин при линейном отображении А: Rn → Rn. А именно, для n-мерной вектор-строки Х полагаем Y = X·A. Тогда

(|Y|/|X|)n ≤ σ1n ≤ μ(A)n-1 σ1σ2···σn = μ(A)n-1 |detA|.

В геометрической теории функций полученное неравенство позволяет оценивать искажение модуля градиента сложной скалярной функции при переходе к криволинейным координатам. Интерес представляет также коэффициент искажения m-мерных площадей при линейном отображении A: Rn→Rn (m =1, 2, …,n-1)

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

μm(A) = σ1σ2···σm/(σnσn-1···σn-(m-1)),

для которого μm(A) = μm(A-1) = μn-m(A), μ1(A) ≤ μ2(A) ≤ μm(A) ≤ μ1(A)m. Для простого m-вектора Х1ΛX2Λ…ΛXm, образованного векторами в пространстве Rn, с матрицей (Х1Х2…Хm) рассмотрим матрицу (Y1Y2…Ym) = (X1X2…Xm)A и соответствующий простой m-вектор Y1ΛY2Λ…ΛYm. Тогда

|Y1ΛY2Λ…ΛYm|/|X1ΛX2Λ…ΛXm| ≤ σ1σ2…σm =

= (μm(A))m/nσnσn-1…σn-(m-1) ≤ μm(A)|detA|m/n.

В геометрической теории функций полученное неравенство позволяет оценивать модуль многомерного градиента сложной векторной функции при переходе к криволинейным координатам.

2. Обусловленность в квазиконформном анализе.

Пусть MIJ — минор матрицы А, образованный её элементами, находящимися на пересечении её строк и столбцов с номерами, составляющими соответственно мультииндексы I = {i1,i2,…,im}, J = {j1,j2,…,jm}, где 1≤i1<i2<…<im≤n, 1≤j1<j2<…<jm≤n. Полагаем

λm(A) = (ΣIΣJMIJ2)1/2, Qm(A) = λm(A)/((Cnm)1/2|detA|m/n),

где Cnm — число всех сочетаний из n элементов по m. Величина Qm(A) является аналогом числа обусловленности матрицы из первого пункта. Как установлено в [2, c. 30], λm(A) = λn-m(A-1)|detA|. Отсюда следует свойство Qm(A) = Qn-m(A). Для положительно определённых квадратных матриц А,В порядка n будет

(Q1(A+B))1/n ≤ (Q1(A))1/n +( Q1(B))1/n.

Если при линейном отображении A: Rn→Rn взять Y = X·A, то

|Y|/|X| ≤ λ1(A) = n1/2Q1(A)|detA|1/n.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Для линейного преобразования поливекторов выполняется неравенство

|Y1ΛY2Λ…ΛYm|/|X1ΛX2Λ…ΛXm| ≤ λm(A) = (Cnm)1/2|detA|m/n.

3. Связь между двумя видами обусловленности.

Теорема 1. Для невырожденной квадратной матрицы А порядка n выполняется неравенство 1/μm(A) ≤ Qm(A) ≤ μm(A).

Доказательство. Пусть PI — параллелепипед, построенный на векторах-строках матрицы А с номерами i1, i2,…,im, составляющими многомерный индекс I, RI — параллелепипед, построенный на оставшихся векторах-строках матрицы А. Символом Volm(P) обозначим m-мерный объём параллелепипеда P. Тогда

(ΣJMIJ2)1/2 |detA| = Volm(PI)Voln-m(RI).

Эта формула относится к многомерной геометрии, рассмотренной в книге [5]. Чтобы не отвлекаться на её вывод, заметим, что она следует из результатов геометрической теории меры, относящихся к обобщённой теореме Фубини [6, c. 278]. Поскольку

σnσn-1…σn-(m-1) ≤ Volm(PI) ≤ σ1σ2…σm,

то получаются неравенства 1/(μm(A))2 ≤ ΣJMIJ2 ≤ (μm(A))2 . Остаётся просуммировать эти неравенства по индексу I и извлечь затем квадратный корень.

Теорема 2. Для невырожденной квадратной матрицы А порядка n выполняется неравенство

(μm(A))m/n ≤ (Cnm)1/2 Qm(A).

Доказательство. Так как

μm(A) ≤ λm(A)/(σnσn-1…σn-(m-1)) =

λm(A)σ1σ2…σn-m/|detA|,

то нужно показать, что (σ1σ2…σn-m)m ≤ (λm(A))n-m. Поскольку μm(A) = μn-m(A), то достаточно рассмотреть случай m ≤ n-m. Пусть n-m = km+l, где k,l – натуральные числа (допускаются их нулевые значения). Тогда

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

(σ1σ2…σn-m)m ≤ (λm(A))km(σn-m-l+1…σn-m)m ≤ (λm(A))km(σ1σ2…σm)l ≤

≤ (λm(A))km+l = (λm(A))n-m.

В квазиконформном анализе утверждения, подобные теоремам 1 и 2, используются при доказательстве эквивалентности различных определений квазиконформности.

Список литературы:

Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983. — 336 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. — 552 с.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Физматлит, 2005. — 464 с.
Пешкичев Ю.А. Многомерный градиент и квазиконформные отображения // Вопросы метрической теории отображений и её применение. Киев: Наукова думка, 1978. — С. 99—109.
Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. — 648 с.
Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. — 760 с.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

414

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке