Введение
Для произвольного поля 
группа 
вместе с ее определенным отображением на подмножества из 
называется схемой квадратичных форм поля . Схема квадратичных форм поля полностью определяет его кольцо Витта [2; 4]. Рассматриваются также схемы квадратичных форм с абстрактной группой показателя 2. В § 1 отмечаются некоторые нерешенные вопросы теории схем квадратичных форм, в частности [4, Проблема 1]: всякая ли QF-схема реализуется как QF-схема поля? Известно, что 
-схемами поля реализуются выделенные из конечных 
схем локальные и элементарные типы [1; 4].
Выявляется строение схем квадратичных форм для некоторых числовых полей, именно: в § 2 для полей комплексных и действительных чисел, в § 3 для простых полей Галуа 
и 
, в § 4 для полей 
и 
адических чисел. В § 5 определяются групповые произведения и групповые расширения 
-схем. Доказана квадратичная эквивалентность поля 
формальных степенных рядов и поля 
адических чисел 
.
§ 1. Схемы квадратичных форм
В этом параграфе рассматриваются понятия схемы квадратичных форм поля, а также абстрактной -схемы [4], приводятся некоторые открытые вопросы теории квадратичных форм.
Пусть — поле и 
— его мультипликативная группа. Обозначим через 
подгруппу обратимых квадратов группы , а через 
— факторгруппу 
. Для 
, 
, 
множество 
есть множество значений бинарной квадратичной формы 
. Положим 
для 
, . Схемой квадратичных форм поля называется структура, состоящая из группы 
, отображения 
группы и выделенного элемента 
.
Всякая схема , ассоциированная с полем , обладает следующими свойствами:
образует подгруппу группы 
Замечание [4]. Из 
и 
непосредственно вытекает: 
.
Два поля 
и 
называются квадратично эквивалентными, если ассоциированные с ними схемы 
и 
изоморфны, то есть существует групповой изоморфизм 
такой, что 
и 
.
Как отмечается в [4] слишком амбициозно рассчитывать на решение общей задачи классификации полей с точностью до квадратичной эквивалентности. Более достижимой представляется классификация полей с конечной ассоциированной схемой квадратичных форм.
Определяют также и абстрактную схему 
как группу 
экспоненты 2 с выделенным элементом 
и отображением ,удовлетворяющим условиям 
. Остается открытым следующий вопрос [4]: всякая ли QF-схема реализуется как QF-схема поля?
§ 2. Схемы квадратичных форм полей комплексных и действительных чисел
Построим схему поля 
комплексных чисел. Имеем, 
и, кроме того, подгруппа квадратов 
мультипликативной группы совпадает с самой группой, то есть 
. Таким образом, факторгруппа 
состоит только из одного элемента. Получаем, 
и 
, так как 
и, тем самым, 
. Очевидно, множество 
значений бинарной квадратичной формы 
над есть 
. Следовательно, имеет место
Утверждение 1. Схема квадратичных форм поля комплексных чисел определена условиями: , , 
.
Для поля 
действительных чисел в силу условия 
задача выявления строения схемы квадратичных форм является более интересной. Имеем 
Таким образом факторгруппа 
содержит два элемента, представителем класса 
может служить 
, a число 
выбираем представителем класса 
. Тем самым, 
и 
.
Множество 
есть множество значений бинарной квадратичной формы . Таким образом, 
. Аналогично, 
есть множество значений бинарной квадратичной формы 
и 
.
Утверждение 2. Схема квадратичных форм поля действительных чисел определена условиями: , , , .
§ 3. Схемы квадратичных форм конечных полей и
Пусть 
— простое конечное поле, состоящее из трех элементов, 
и бинарные операции определены следующим образом:
Построим схему квадратичных форм поля . Как показывает таблица умножения, 
, 
. Тогда факторгруппа 
состоит из двух элементов 
. Для выделенного элемента 
получаем 
. Другими словами, не является квадратом в поле 
, так как уравнение 
не имеет решений.
Найдем множества 
для каждого элемента 
группы 
. Пусть 
, тогда 
— множество значений квадратичной формы . При 
, 
получаем 
, в случае 
имеем 
. Таким образом, 
. Пусть теперь 
. Найдем множество 
значений квадратичной формы 
. При , получаем 
, в случае 
, 
имеем 
. Таким образом, 
. Окончательно, доказано
Утверждение 3. Схема квадратичных форм поля определена условиями: , , , .
Пусть 
– простое конечное поле, состоящее из пяти элементов, 
и бинарные операции определены следующим образом:
Построим схему квадратичных форм поля 
. Как показывает таблица умножения, 
, 
. Тогда факторгруппа 
состоит из двух элементов 
. Для выделенного элемента получаем 
.
Найдем множества для каждого элемента группы 
. Пусть , тогда — множество значений квадратичной формы . При , получаем , в случае имеем . Таким образом, . Пусть теперь . Найдем множество 
значений квадратичной формы . При , получаем 
, в случае , 
имеем 
. Таким образом, 
.Из данного выше вытекает
Утверждение 4. Схема квадратичных форм поля 
определена условиями: 
, , .
§ 4. Схемы квадратичных форм полей и адических чисел
Рассмотрим поле адических чисел 
. Каждый элемент поля адических чисел представим в виде:
,
где 
и 
. Операции сложения и умножения адических чисел определены, например, в [5]. Несложно показать, что в поле квадратами являются только те числа, которые имеют вид 
, где 
— квадрат в поле , а остальные коэффициенты 
, произвольны. Рассмотрим строение факторгруппы 
. Элементы 
попадают в один класс смежности по подгруппе 
, если 
. Так как 
, то включение 
равносильно условию 
. Значит, если 
, 
, то первый коэффициент произведения 
сравним с 
по модулю 
и стоит при степени 
. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
1. 
— четно, это равносильно тому, что 
и 
одновременно четны или одновременно нечетны;
2. 
— квадратичный вычет по модулю , это равносильно тому, что 
и 
одновременно являются квадратами или не квадратами по модулю .
Следовательно, факторгруппа содержит 4 класса эквивалентности. Их представителями удобно выбрать, соответственно, элементы , 
, , 
, где: 
,
,
,
.
Таким образом, 
. Найдем множества . Согласно определению, а также учитывая 
, получаем 
и 
. Кроме того, 
. Таким образом, в силу —
получаем 
. Найдем . Имеем 
. Отсюда при 
получаем 
, в противном случае 
. То есть 
. Найдем 
. Имеем 
. Таким образом при любом выборе и получаем 
. Найдем 
. Аналогично, 
. Отсюда 
.
Утверждение 5. Схема квадратичных форм поля 
адических чисел определена условиями , 
, 
, 
, 
, 
.
Рассмотрим поле адических чисел . Каждый элемент поля 
адических чисел представим в виде:
,
где и 
. Несложно показать, что в поле 
квадратами являются только те числа, которые имеют вид 
, где 
то есть являются квадратами в поле , а остальные коэффициенты 
, произвольны.
Следовательно, факторгруппа 
содерж