ABSTRACT
The exact degenerate soliton solution of sine-Gordon equation is obtained as limit (resonance) case of two-soliton solution. It has shown that the solution is described the bound state of two solitons types of kinks (soliton-antisoliton pair).
Ключевые слова: солитон; перегиб; полиномиально-экспоненциальное решение.
Keywords: soliton; kink; rational-exponential solution.
Рассмотрим одно из классических уравнений математической физики — уравнение sin-Гордон (CГ):
, (1)
(символ 
обозначает частную производную относительно x).
Уравнение (1) встречается во многих областях физики: в нелинейной оптике, в физике магнетизма, в теории сверхпроводимости, как модель для описания дислокаций в кристаллах, в теории поля [3, с. 93]. Кроме того, уравнение СГ имеет многосолитонные решения [6, с. 1463], представляемые в виде стандартных конечных рядов экспонент, где каждая экспонента зависит от произвольной фазовой постоянной. Начиная с работы Хироты [5, с. 1193] и работ многих других авторов [1, с. 108], эти фазовые постоянные считались вещественными постоянными, не имели особенностей и не зависели от физических параметров солитона, таких как амплитуда и скорость.
Однако, если считать фазовые постоянные определенными сингулярными функциями параметров солитона, то возникает новый класс решений, так называемые полиномиально-экспоненциальные (ПЭ) решения [4, с. 3] .
В статье [7, c. 120] было указано на существование такого типа солитонов, как возможных многополюсных решений в методе обратной задачи рассеяния. Данные решения описывают вырожденные солитоны, которые образуются в результате резонансного взаимодействия пары солитонов, характеризующиеся одинаковыми параметрами (например, амплитудой).
В данной работе мы построим новое точное решение уравнения СГ, выбрав фазовые постоянные в виде определенных сингулярных функций параметров солитона — вырожденное солитонное решение.
Рассмотрим двухсолитонное решение [6, с. 1462] уравнения (1):
, (2)
, (3)
где 
, (4)
и 
— произвольные ограниченные вещественные постоянные 
.
Заметим, что для вещественных постоянных 
в пределе 
и 
выражения (2), (3) сводятся к односолитонному решению. Нетривиальное решение нового типа можно получить в пределе и , если рассматривать фазовые постоянные неограниченными и имеющими особенности.
Преобразуем выражение (2):
, (5)
где 
, 
— начальная фаза, 
, (i=1,2).
Предположим, что фазовые постоянные являются сингулярными функциями параметров солитона :
, (6)
тогда решение (5) можно записать в виде
. (7)
С учётом формулы (4) выражение (6) можно преобразовать к следующему виду:
, (8)
Кроме того, можно получить дополнительное соотношение
, (9)
поскольку 
.
Полученные выражения (8),(9) позволяют записать решение (7) в виде:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
. (10)
В пределе , из формулы (10) имеем:
. (11)
При получении формулы (11) мы учли, что 
при 
. Отметим, что предельный переход 
соответствует вырожденному случаю, так как двум солитонам соответствуют два равных параметра. Нетрудно проверить, что данная функция 
удовлетворяет уравнению (1).
В результате нами получено простейшее вырожденное солитонное решение уравнения СГ ( ПЭ решение).
Уравнение (1) подробно исследовалось для магнитных систем. Для магнетика с анизотропной «легкой» плоскостью уравнение Ландау-Лифшица сводится к уравнению СГ [2, с. 98]. Простейшее односолитонное решение уравнения (1) [2, с. 98]:
, 
(12)
описывает перегибы (или доменные границы ), соединяющие области с 
и 
(см. Рис. 1). Здесь 
-угол, отсчитывемый от легчайшей оси в «легкой» плоскости. Знаки 
определяют полярность доменной границы (плюс соответствует солитону, а минус — антисолитону).
Вырожденное солитонное решение (11) описывает связанное состояние двух таких границ. Из Рисунка 2. видно, что в начальный момент времени (при t=0) взаимодействие носит сложный характер. Анализ дальнейшей эволюции данной пары показывает, что при больших значениях x, t доменные границы расходятся в противоположные стороны.
Рисунок 1.
Односолитонное решение , (
,
).
Рисунок 2.
Вырожденное солитонное решение (11), ( ,).
Список литературы:
1.Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М., Мир, 1987 — 478 с.
2.Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наук. Думка, 1983 — 192 с.
3.Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., Мир, 1989 — 326 с.
4.Bezmaternih G.V. (Khusainova G.V.), Borisov A.B. Rational — Exponential Solutions of Nonlinear Equations// Lett.Math.Physics — 1989 — Vol. 18 — P. 1—8.
5.Hirota R. Exact solution of the Korteweg — de Vries equation for multiple collisions of solitons// Phys. Rev. Lett. — 1971 — Vol. 27 — P. 1192—1194.
6.Hirota R. Exact solution of the Sin-Gordon equation for multiple collisions of solitons//J.Phys.Soc.Jap. — 1972 — Vol. 33, — № 5 — P. 1459—1464.
7.Poppe C. Construction of solutions of the sine – Gordon equation by means of Fredholm determinants//Physica D — 1983 — Vol. 9 — P. 103—139.