Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Способы решения задач единого государственного экзамена по математике на нахождение угла между плоскостями»

АННОТАЦИЯ. Единый государственный экзамен по математике на протяжении многих лет является инновацией, как для учащихся, так и для учителей, так как каждый год появляются все новые и интересные задачи. Особо новыми и нестандартными задачами являются задачи части С. В данной статье рассмотрим решение задач С2 единого государственного экзамена по математике на нахождения угла между плоскостями. Задачи с такой проблемой были на ЕГЭ по математике в 2012 году.

Помощь в написании статьи

ABSTRACT

For many years the unified state examination in mathematics is an innovation, both for pupils, and for teachers as every year there appear new and interesting problems. Especially new and non-standard tasks are problems of part C. In this article we will consider the solution of problems in C2 of the unified state examination on mathematics on finding a corner between the planes. Such problem, were on Unified State Examination in mathematics in 2012.

Ключевые слова: единый государственный экзамен; математика.

Keywords: unified state examination, mathematics.

Задание С2 Единого государственного экзамена вот уже два года представляло стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником. При решении задач на расстояния и углы в стереометрии обычно используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный метод.

Знание учениками нескольких методов решения задач имеет свои преимущества. Так, решив задачу одним способом, школьник может проверить правильность ответа другим способом. Кроме этого, возможность выбора учащимися разных способов решения задачи способствует развитию вариативного мышления у школьников.

Решая задачу о нахождении угла между плоскостями в курсе стереометрии, упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину. Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих школьников вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняет процесс. Именно поэтому задача C2 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимуществами применения поэтапного вычислительного метода являются: высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10—11 классах; значительное сокращение объема вычислений при правильном подходе.

Рассмотрим определение двугранного угла

Рисунок 1.

Определение 1. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

ÐAOB — линейный угол двугранного угла с ребром СD. Так как ОА^СD, ОВ^СD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой СD (рис. 1).

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Задача. Дана шестиугольная правильная призма А…F1. Сторона основания равна 2, а высота 4, СL:LC1=3:1, FK_KF1=1:3. Найти угол между плоскостью KLB и плоскостью основания призмы.

Решение.

1 способ (Используя, определение 1). LK∩CF=P (рис. 2).

Рисунок 2.

 

Рисунок 3.

Плоскость основания призмы пересекается с плоскостью BKL по прямой ВР. CL=3, FK=1, СF=4.

Из подобия треугольников LCP и KFP следует

Из треугольника СВР по теореме косинусов найдем ВР (рис. 3).

ВР2=СВ2+СР2 – 2СВ·СР соsÐВСР.

Найдем площадь треугольника ВСР двумя способами и приравняем полученные выражения площадей.

где: СН — высота треугольника ВСР.

Угол LHC является искомым углом, т. к. LH^BP и CH^BP.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Найдем LH и косинус угла из треугольника CHL.

Ответ:

К недостаткам использования поэтапного вычислительного метода можно отнести необходимость: знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии; строить дополнительные построения. И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.

Если у учащихся хорошее стереометрическое воображение, проблем с дополнительными построениями не возникнет. Остальным школьникам предлагаем отказаться от традиционного геометрического метода и рассмотреть более эффективный метод координат.

2 способ. Метод координат.

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями a1x+b1y+c1z+d=0 и a2x+b2y+c2z+d=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей   используя формулу

 

Решим задачу вторым способом.

Введем систему координат (рис. 4). Начало координат поместим в точке O, где О — это центр нижнего основания. Оси координат x, y, z направим по лучам ОМ, ОЕ, ОО1 соответственно, где М — середина АF, O1 — центр верхнего основания призмы.

Укажем координаты трех точек:

B(0, –2,0 ), К(

Любую прямую, перпендикулярную плоскости, кратко называют нормалью к плоскости. Любой вектор, лежащий на этой прямой, называют нормальным вектором этой плоскости. Нетрудно заметить, что угол между плоскостями равен между нормальными векторами к данным плоскостям.

Рисунок 4.

Плоскость основания призмы совпадает с плоскостью: z=0. Нормальный вектор данной плоскости имеет вид

Найдем уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, проходящей через точки B, К, L.

Отсюда

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

Итак,

Имеем, в частности, такое уравнение

Нормальным вектором этой плоскости будет

Задачи для самостоятельного решения.

Дана шестиугольная правильная призма А…F1. Сторона основания равна 2, а высота 4.

1. ВL:LВ1=3:1, K середина АА1. Найти угол между плоскостью KLМ и плоскостью основания призмы, где М середина ВС. Найти угол между плоскостью CKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью DKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью FKL и плоскостью основания призмы.

2. СL:LC1=3:1, AK_KA1=1:3. Найти угол между плоскостью KLM и плоскостью основания призмы, где М середина ВС. Найти угол между плоскостью DKL и плоскостью основания призмы.

3. CL_LC1=3:1, K середина АА1. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы.

4. L середина CC1, AK_KA1=1:3. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы.

5. СL:LC1=3:1, K середина АА1. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью ВKL и плоскостью основания призмы.

6. L середина CC1, FK_KF1=1:3. Найти угол между плоскостью АKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью ВKL и плоскостью основания призмы.

7. СL:LC1=3:1, FK_KF1=1:3. Найти угол между плоскостью АKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью ВKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью KLМ и плоскостью основания призмы, где М середина AF.

8. СL:LC1=3:1, K середина FF1. Найти угол между плоскостью АKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью ВKL и плоскостью основания призмы.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10—11 классов. — М.: Просвещение, 2009. — 255 с.

2.ЕГЭ-2013.Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Национальное образование, 2012. — 192 с.

3.Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 5—8 / А.Н. Корняков, А.А. Прокофьев. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. — 100 с.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

470

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке