Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Теория предельных функций»

Пусть — функция двух переменных, определенная на множестве . Все точки области определения этой функции разделим на три группы:

, где и

Помощь в написании статьи

Эти точки являются внутренними точками множества .

, где и

В окрестности таких точек не существует точек, отличных от их самих, поэтому точки такого вида являются изолированными точками [1, c. 64].

, где и

Окрестность существует только для в смысле .

, где и

Окрестность существует только для в смысле .

Поэтому любая окрестность таких точек содержит бесконечно много точек из , то есть точки такого вида являются предельными точками [1, c. 64].

Класс функций, определенных в предельных точках, назовем классом предельных функций.

Функции, заданные в области , будут предельными

И функция, заданная в области

Непрерывность предельных функций на промежутке

Предельную функцию назовем непрерывной на промежутке или , если для всех точек или из этого промежутка существует повторный предел равный одной константе на всем промежутке

Предельный переход к и или осуществляется при фиксированном или .

Если же значение повторного предела не равно константе или равно константе не равной , в какой либо точке промежутка, то предельная функция в этой точке терпит разрыв.

Повторный предел, очевидно, имеет вид

Где

Исследуем на непрерывность предельные функции, заданные в области

Т. к.

то, предельная функция непрерывна в заданном промежутке.

Т. к.

И

то предельная функция непрерывна на промежутке и терпит разрыв в точке .

Т. к.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

то, предельная функция непрерывна в заданном промежутке.

Т. к.

то, предельная функция непрерывна в заданном промежутке.

И функцию, заданную в области

Т. к.

И

то предельная функция непрерывна на интервале и терпит разрыв в точках .

Равномерность предельных функций на промежутке

Особенно интересен характер поведения предельной функции в точке , в которой существует конечный простой предел равный константе

Здесь возникает следующий вопрос: будет ли предельная функция равномерной в этой точке? То есть точка будет являться потенциальной точкой неравномерности предельной функции .

Сформулируем определение равномерности для предельной функции для некоторого промежутка на «языке »:

Определение 1. Если для любого числа существуют такие и , что для всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенства

и

где: , выполнятся неравенство

то предельная функция равномерна по в замкнутом промежутке .

Или что тоже

Определение 1*. Предельная функция равномерна по в замкнутом промежутке , если для нее существует двойной предел при и , где , равный одной константе всем промежутке

Равномерность предельной функции не гарантирует ее непрерывность, обратное же утверждение в общем (но не в частном) случае неверно. Имеет место менее сильное определение равномерной непрерывности предельной функции.

Теорема 1. Предельная функция равномерно непрерывна по в замкнутом промежутке , если существует простой предел по как функция одной переменной

и повторный предел, равный одной константе на всем промежутке

По самому определению равномерности предельной функции приходим к следующему утверждению

Теорема 2. Если предельная функция равномерно непрерывна по на некотором промежутке , то есть

то допустим предельный переход

 

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

Поточечная равномерность предельных функций на промежутке

Для класса предельных функций понятие их равномерности на промежутке отлично от понятия равномерности в точке. К примеру, при определении равномерности предельной функции в точке , может случиться так, что двойной предел в этой точке будет равен константе и не будет равен двойному пределу на промежутке , то есть

Хотя

Поэтому если попытаться переформулировать определение 1 со случая равномерности предельной функции на промежутке для случая равномерности предельной функции в точке, то точка неравномерности функции будет принята за точку равномерности, что обязательно приведет к ошибке. Поэтому класс рассматриваемых функций должен быть сужен. Необходимо положить , тогда для повторного предела будем иметь

Сформулируем определение равномерности для предельной функции в точке на «языке »:

Определение 2. Если для любого числа существуют такие и , что для всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

и

выполнятся неравенство

то предельная функция равномерна в точке .

Или что тоже

Определение 2*. Предельная функция равномерна в точке , если для нее существует двойной предел при и равный нулю

Требование равномерности предельной функции в любой точке промежутка сильнее требования равномерности предельной функции на промежутке.

Предельную функцию будем называть поточечно равномерной по на некотором промежутке , если она равномерна в любой точке этого промежутка.

Сформулируем определение поточечной равномерности предельной функции на промежутке на «языке »:

Определение 3. Если для любого числа существуют такие и , что для всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

и

где: , выполнятся неравенство

то предельная функция поточечно равномерна по в замкнутом промежутке .

Или, что тоже

Определение 3*. Предельная функция поточечно равномерна по в замкнутом промежутке , если она равномерна в любой точке этого промежутка, то есть существует двойной предел при и , где , равный нулю

Исследуем на равномерность предельные функции, заданные в области

По теореме 1 получаем

Полагая в

Получаем

А переходя к полярным координатам , будем иметь

Отсюда следует, что предельная функция поточечно равномерна в заданном промежутке.

По теореме 1 получаем

Полагая в

Получаем

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

А переходя к полярным координатам , будем иметь

Отсюда следует, что предельная функция поточечно равномерна на промежутке и неравномерна в точке .

По теореме 1 получаем

Полагая в

Получаем

А переходя к полярным координатам , будем иметь

Отсюда следует, что предельная функция поточечно равномерна на промежутке и неравномерна в точке .

По теореме 1 получаем

Полагая в

Получаем

А переходя к полярным координатам , будем иметь

Отсюда следует, что предельная функция поточечно равномерна на промежутке и неравномерна в точке .

И предельной функции, заданной в области

По теореме 1 получаем

А для имеем

Отсюда следует, что предельная функция поточечно равномерна на интервале и неравномерна в точках .

 

Список литературы:

1.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИМАТЛИТ, 2012. — 572 с. — ISBN 978-5-9221-0266-7.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 т. Т. 1. — 9-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2009. — 608 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная книга).

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

338

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке