ABSTRACT
This article is a mini research of the author. It is aimed at revelation of some correlations and connections between numbers, including numbers of combinations. During the work a non-standard formation method of numbers of combinations has been found, namely of binomial coefficients; some properties of combinations have been revealed.
Ключевые слова: кортеж; треугольник Паскаля.
Keywords : tuple; Pascal triangle.
Слово «кортеж» в переводе на русский означает «торжественное шествие» (говорят «свадебный кортеж», кортеж автомашин»). Примерами кортежей могут служить слова (кортежи, составленные из букв алфавита), десятичные записи чисел (кортежи, составленные из цифр) и т. д. Подчеркнем отличие понятие кортежа от понятия множества: в множестве все элементы различны, а в кортеже компоненты могут повторяться.
В этой статье мы рассмотрим кортежи, которые обладают любопытными свойствами.
Возьмем 0, к нему добавим 1 и 2. Получим кортеж (1 2). К каждому элементу этого кортежа добавим по 1 и 2, получим кортеж 2 3 3 4. Добавляя к каждому элементу полученного кортежа по 1 и 2, получаем новый кортеж. Записывая все наши кортежи, друг под другом, получаем пирамиду из кортежей.
0
1 2
2 3 3 4
3 4 4 5 4 5 5 6
4 5 5 6 5 6 6 7 5 7 6 7 7 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . и т. д. (
Если к 0 прибавим 2 и 4, получим кортеж
0
2 4
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
4 6 6 8
6 8 8 1 0 8 1 0 1 0 1 2
8 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 1 0 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (
.
В общем виде наши пирамиды будут иметь следующий вид:
0
R 2R
2R 3R 3R 4R
3R 4R 4R 5R 4R 5R 5R 6R
4R 5R 5R 6R 5R 6R 6R 7R 6R 6R 7R 6R 7R 7R 8R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (
.
Эти кортежи обладают следующим удивительным свойством: число повторений в каждой строке ступенчатой пирамиды является строкой треугольника Паскаля.
Запишем это:
0
1 1
1 2 1
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . . . . . . . . . . . . . .
Треугольник Паскаля обладает массой интереснейших свойств, главное из которых: не выполняя самого умножения (возведения в степень), с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (a+b). Правда коэффициенты мы будем находить рекуррентно, т. е., для того, чтобы узнать коэффициенты разложения бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы узнать для шестой, сначала найти их для пятой и так далее до самого начала. То же самое и в случае наших пирамид. Например, чтобы узнать числа в пятой строке, нужно знать элементы в четвертой строке и т. д. Из каждого элемента предыдущей строки получается два элемента следующей.
Например.
Но нельзя ли обойтись без этого? Оказывается, можно вычислять элементы каждой строки пирамиды, не зная элементов предыдущей. Для этого, возьмем любое множество, элементами которого, являются числа (для удобства). Если нам нужно вычислять элементы строки n, то нужно взять числовое множество, где разность между первым и последним элементами равна n. Например n=4. Можно взять (1,2,3,4,5) или (2,3,4,5,6) или же (4,5,6,7,8) и т. д. Наши кортежи содержат 
элементов и кортежи можно разбить на кортежи с количеством элементов 1. То есть каждый следующий кортеж состоит из как бы «вложенных» друг в друга кортежей предыдущих строк, ступенчатой пирамиды. Например, кортеж для пятой строки пирамиды 
, состоит из кортежей с количеством элементов 2, 
.
1 кортеж 5 6
2 кортеж 5 6 6 7
3 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8
4 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8 6 7 7 8 7 8 8 9
Выясним закон образования кортежа на примере кортежа из множества (2,3,4,5,6,7,8,9), n=7. Запишем кортеж в виде прямоугольной таблицы.
2334 3445 3445 4556
3445 4556 4556 5667
3445 4556 4556 5667
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
4556 5667 5667 6778
3445 4556 4556 5667
4556 5667 5667 6778
4556 5667 5667 6778
5667 6778 6778 7889
1. Пишем первый элемент, рядом дважды второй, потом третий. Получаем кортеж 2 3 3 4 — первая четверка.
2. Для каждого элемента первой четверки составляем такие кортежи 2 3 4 3 4 3 4 4 5 3 4 4 5 4 5 5 6 — первая строка (большая четверка).
3. Для второй четверки 3 4 4 5 составляем такие кортежи. Это вторая строка (вторая большая четверка).
4. Для третьей четверки составляем кортежи и это пишем в третью строку.
5. Составляем кортеж для четвертой четверки первой большой четверки. Это будет четвертой строкой.
Далее составляем такой кортеж для первой четверки второй большой четверки и т. д., пока не появится последний элемент. Тогда процесс завершается. Зная это правило, легко составлять любой кортеж, по кортежу все строки треугольника Паскаля.
Для нашего кортежа число повторений: 1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1 — седьмая строка треугольника Паскаля.
Кортежи длиной можно расположить в квадратную или прямоугольную таблицу. Например, кортеж для шестой строки можно расположить так, чтобы в строке и в столбце были коэффициенты разложения 
или 
и 
и т. д.
Составим таблицы для шестой строки пирамиды.
Таблица 1.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Составим вторую таблицу из первой.
Таблица 2.
1,3,3,1 — число повторений столбцов. Числа в строке таблицы 2 — это количество повторений элементов в столбце. Из этой таблицы мы получаем следующие тождества:
;
