ABSTRACT
The stability domains of a discrete neural network are obtained by numerical experiments. The network has a cylindrical architecture. The problem is reduced to the matrix delay equations of higher order.
Ключевые слова: нейронные сети; разностные матричные уравнения; устойчивость разностных уравнений; цилиндрические нейронные сети.
Keywords: neural networks; difference matrix equations; stability; cylinder.
Мы рассматриваем нейронную сеть из шести нейронов с цилиндрической топологией связей с равным запаздыванием между нейронами в сети. В статье [1] приведены геометрические алгоритмы для проверки на устойчивость матричного разностного уравнения с двумя запаздываниями.
Рисунок 1. Цилиндрическая нейронная сеть с шестью нейронами
Рассмотрим дискретную модель нейронной сети с цилиндрической топологией связей. В модели взаимодействие различных нейронов запаздывает на
тактов. Силу воздействия нейрона с «меньшим» номером на нейрон с «большим» обозначим посредством 
, а силу обратного воздействия посредством 
. Модель имеет вид
(1)
Для сетей с цилиндрической топологией уравнение (1) примет вид:
(2)
где: 
— единичная матрица,
— коэффициент затухания собственных колебаний нейрона,
— матрица взаимодействий между нейронами в сети. Здесь 
есть 
мерный вектор состояния нейронной сети в момент 
.
Для сети из шести нейронов с цилиндрической конфигурацией матрица взаимодействий 
размера 
примет вид
. (3)
Характеристическое уравнение для матричного уравнения (2) имеет вид
(4)
где:
(5)
Для изучения устойчивости уравнения (2) с матрицей (3) будем использовать программу Маткад. Мы фиксируем запаздывание 
и коэффициент демпфирования 
. Затем перебираем значения 
из некоторого интервала с некоторым шагом. Для каждого значения 
мы подбираем граничные значения 
, в окрестности которых устойчивость системы граничит с неустойчивостью. Этот подбор происходит следующим образом. Мы ищем корни уравнения (4) с учетом (5), и в качестве искомого значения берем то значение, при котором все корни характеристического уравнения (4) находятся внутри единичного круга на комплексной плоскости, а по крайней мере один корень на границе круга. В результате мы получаем область устойчивости в пространстве параметров 
. В конце создаем график, иллюстрирующий полученную область устойчивости для выбранных параметров 
и 
.
Результаты вычислений области устойчивости для запаздываний на 1,2 и 3 такта показаны на Рис. 2.
Полученные области позволят решить вопрос об устойчивости исследуемой модели в зависимости от интенсивности взаимодействия между нейронами.
Полученные результаты будут отправной точкой для дальнейшего развития теории об устойчивости цилиндрической нейронной сети с различным числом нейронов в сети.
Рекурсивные нейронные сети с топологией связей, отличной от цилиндрической, изучены в работах [2, 3]. Непрерывные модели нейронных сетей исследуются в работе [4] на основе теории конусов устойчивости для дифференциальных уравнений с запаздываниями [5].
Список литературы:
1. Заенцов И.В., Нейронные сети: основные модели. Издательство Воронежского университета, Воронеж, 1999.
2. Иванов С.А. Область устойчивости в пространстве параметров рекурсивных нейронных сетей с топологией многомерного куба. Челябинск: Вестник ЮУрГУ серия Математика. Механика. Физика Выпуск 7, 2012.
3. Ivanov S.A., Kipnis M.M. Stability analysis of discrete-time neural networks with delayed interactions: torus, ring, grid, line. International Journal of Pure and Applied Math. (2012) V. 78(5), p. 691—709.
4. Khokhlova T.N., Kipnis M.M. Numerical and qualitative stability analysis of ring and linear neural networks with a large number of neurons, International Journal of Pure and Applied Math. (2012) V. 76(3), pp. 403—419.
5. Khokhlova T.N., Kipnis M.M., Malygina V.V. The stability cone for a delay differential matrix equation, Appl. Math.Letters (2011) V. 24, pp. 42—745.