Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Введение аффинных и нормальных связностей на гиперполосе»

Аннотация. Данная статья является продолжением работы [5], в которой рассматривается геометрия специального класса регулярных гиперполос   проективного пространства . Вводятся аффинные (касательные) и нормальные (центропроективные) связности на гиперполосе. Найдены тензоры кривизны (кручения) этих связностей. Работа выполнена методом Г.Ф. Лаптева [1]. Во всей работе индексы принимают значения.

Помощь в написании статьи

;I, J, K,…p,q,s,…=i, j, k,…; a,b,c,…;

α,β,γ,…;i,j,k,…=(a,p);;

.

ABSTRACT

This article is a continuation of [5], which deals with the geometry of a special class of regular hyperbands projective space. We introduce affine (tangential) and normal (Centroprojective) connections on hyperstrip. Found curvature tensors (torsion) of these connections. Work performed by G.F. Laptev [1]. Throughout the paper the indices take values ;I, J, K,…p,q,s,…=i, j, k,…; a,b,c,…;

α,β,γ,…;i,j,k,…=(a,p);;

.

Ключевые слова: гиперполоса; афинная связность; нормальная связность.

Keywords: hyperbands; affinity connection; normal connection.

§ 1. Касательная и нормальная связности гиперполосы

1. Следуя работе [1] формулы инфинитезимального перемещения репера запишем в виде

, (1)

Так как реперы   и   в проективном пространстве   отождествляются, то для проективной группы   существенна лишь разница

, (2)

где   и   одновременно не равны нулю; очевидно, что .

Для форм   из (1), (2) вытекают следующие структурные уравнения [2]:

(3)

2. Известно [5], что гиперполоса ⊂ Pn задается уравнениями

 

(4)

(5)

Пусть гиперполоса   [5], заданная уравнениями (4), (5), оснащена в смысле Нордена [3], то есть оснащена полями нормалей   1-го рода и полями нормалей   2-го рода. Адаптируем репер   [5] полям нормалей 1-го и 2-го рода, т. е. точки , ,,.

В этом случае формы , становятся главными:

, , , , (6)

где

, , ,

, (7)

Таким образом, уравнения (4)—(7) являются уравнениями нормализованной по Нордену гиперполосы   в дифференциальной окрестности 3-го порядка. Кроме того, из (6) следует, что

, (8)

и из формул (4) и (6) находим, что

, (9)

где и в силу сопряженности плоскостей Λ и L [5].

Из задания гиперполосы (4)—(7) следует, что при фиксации точки базисной поверхности касательные плоскости и нормальные плоскости , остаются неподвижными. Тогда в силу [3], [6] на базе возникают нормальные , и касательные расслоения плоскостей. В силу (3), (6), (7), (8), (9) структурные уравнения касательного (аффинного) расслоения   гиперполосы   принимают вид

, , (10)

где

(11)

(12)

Согласно теореме Картана-Лаптева [7], [1] следует, что в касательном расслоении   гиперполосы , нормализованной по Нордену, определяется аффинная связность   без кручения. Впервые эту связность ввел и подробно исследовал А.П. Норден [3]. Формы   будут ее формами связности, а формы   — ее формами кривизны, а   — тензор кривизны связности .

Теорема 1. В дифференциальной окрестности 3-го порядка на нормализованной по Нордену гиперполосе ⊂ Pn в ее касательном расслоении определяется аффинная связность   без кручения с 2-формами   (11) кривизны, тензор кривизны которой имеет строение (12).

3. Структурные уравнения нормального расслоения   (расслоения нормалей 1-го рода гиперполосы) с учетом (3), (8), (9) можно представить в виде:

, ,

=

,

(13)

где

,

, , (14)

,

, , (15)

, .

Согласно работам [4], [6], получаем, что в нормальном расслоении возникает центропроективная связность   с формами связности и 2-формами кривизны, [6] компоненты тензора кривизны , которой имеют строение (15). Связность   будем называть нормальной проективной связностью оснащенной гиперполосы .

Таким образом, имеет место

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 3-го порядка на базисной поверхности   гиперполосы ⊂ Pn определяется нормальная связность   в расслоении ее нормалей 1-го рода . Компоненты тензора кривизны связности   имеют строение (15), а 2- формы кривизны соответственно (14).

§ 2. Задание аффинных и нормальных связностей, индуцируемых

,-∆ — подрасслоениями

1. Структурные уравнения касательного -подрасслоения имеют вид:

, (17)

где совокупность величин

(18)

образует тензор кручения {}, а 2-формы кривизны имеют структуру:

(19)

Следуя работам [4], [6], утверждаем, что в слоях касательного -подрасслоения индуцируется аффинная связность   [3] с кручением {} (18), компоненты тензора кривизны {}, которой имеют вид:

(20)

В результате справедлива

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

Теорема 3. Гиперполоса   в касательном Λ-подрасслоении в дифференциальной окрестности 3-го порядка индуцирует внутреннюю аффинную связность с кручением (18) и с 2-формами кривизны {} (19), тензор кривизны {} которой имеет структуру (20).

2. Структурные уравнения нормального расслоения   (расслоение нормалей 1-го рода Λ-подрасслоения) имеют вид:

,

,

, (21)

,

,

,

Где

  (22)

2-формы кривизны, а компоненты тензора кривизны {}имеют строение:

, (23)

Резюмируя, получим предложение

Теорема 4. Гиперполоса в нормальном расслоении Nnr(V) (в расслоении нормалей 1-го рода Λ — подрасслоения)в дифференциальной окрестности 3-го порядка порождает внутренним образом нормальную связность   со слоевыми формами связности () и 2-формами кривизны () (22). Компоненты тензора кривизны {} имеют вид (23).

3. Структурные уравнения касательного -подрасслоения представим таким образом:

(24)

где компоненты тензора кручения

(25)

а тензор кривизны {} имеет строение:

(26)

 

Теорема 5. В дифференциальной окрестности 3-го порядка в касательном -подрасслоения гиперполосы Pn индуцируется аффинная связность с кручением (25) и с 2-формами кривизны

= , тензор кривизны которой имеет вид   (26).

4. Структурные уравнения нормального расслоения   (расслоение нормалей 1-го рода L-подрасслоения) можно представить в виде:

,

,

(27)

,,

,

где

, ,

, (28)

являются 2-формами кривизны, а компоненты тензора кривизны имеют такую структуру:

, ,

, (30)

, .

В результате справедлива

Теорема 6. В нормальном расслоении   гиперполоса порождает в дифференциальной окрестности 3-го порядка внутренним образом нормальную связность   со слоевыми формами связности ( ) и 2-формами кривизны (). Компоненты тензора кривизны имеют строение (30).

5. Структурные уравнения нормального — подрасслоения можно представить в виде:

где

(30)

,

являются 2-формами кривизны, а компоненты тензора { кривизны имеют такое строение:

,(31)

Таким образом, имеет место

Теорема 7. В дифференциальной окрестности 3-го порядка гиперполоса   порождает внутренним образом в — подрасслоении нормальную связность , 2-формы кривизны и компоненты тензора кривизны которой { имеют соответственно вид (30) и (31).

Список литературы:

1.Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциальных геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1953 — т. 2. — с. 275—382.

2.Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей. Матем. сб. — 1973, 91(133), — № 2(6), — с. 211—233.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

3.Норден А.П. Пространства афинной связности. М., 1976.

4.Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева. Труды Геометрич. семинара. ВИНИТИ АН СССР, — 1973, — т. 4, — с. 7—70.

5.Попов Ю.И. Нормализации, ассоциированные с гиперполосой Нm(). VII Международная научно-практическая конференция «Современные концепции научных исследований» (часть 2), г. Москва, 30—31 октября — 2014, — № 7, — стр. 45—49.

6.Чакмазян А.В. Номальная связность в геометрии подмногообразий, Монография; Ереван, 1990. — 116 с.

7.Cartan E. Les spaces connexion projective//Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., — 1937. — Вып. 4 — с. 147—159.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

457

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке