Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Научная статья на тему «Замечательная целая часть (способ решения уравнений с целой частью числа)»

В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике (С6) встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.

Помощь в написании статьи

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки [1].

Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.

Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Свойства целой части:

1.  [x]=x, если x€Z.

2.  [x]≤x<[x]+1.

3.  [x+m]=[x]+m, если m€Z.

Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.

Например, [x+2,6]+[x+3,6]+[x+4,6]=6.

Заменим x+2,6 = y, тогда

[y]+[y+1]+[y+2]=6,

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

3[y]=3,

[y]=1.

Возврат к замене: y= x+2,6, тогда

[x+2,6]=1,

1x+2,6<2,

-1,6x<-0,6.

Ответ: [-1,6; -0,6).

Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011—2012 года [3], которое тоже решается с помощью замены:

 = .

Заменим =k.

15x-7=5k,

x=, (1)

=k,

. (2)

Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда

k<k+1,

40k-3910k<40k+1,

1) 40k-3910k, 2) 10k<40k+1,

k1,3,                 k>.

Из 1) и 2) => k=0; k=1.

При k=0 x=;

при k=1 x=0,8.

Ответ: ; 0,8.

Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить?

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Заказать статью

Рассмотрим уравнение: [x+4,3]+[x-2,3]-[x+3,3]=5.

Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x.

Пусть x=0,4, тогда [x+0,8]=1; [x+1,2]=1; [x+4,5]=4, а при x=0,8 [x+0,8]=1; [x+1,2]=2; [x+4,5]=5.

Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками и рассмотрим конкретный пример.

[x+4,3]+[x-2,4]-[x+3,5]=5.

x=t+a, t — целая часть числа, a — дробная часть числа.

[t+a+4+0,3]+[t+a-3+0,6]-[t+a+3+0,5]=5,

t+t-t+4-3-3+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=5,

t+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=7,

а=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки.

1) a€[0;0,4),

t+0+0+0=7,

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

t=7 => 7≤x<7,4.

2) a€[0,4;0,5),

t+1=7,

t=6 => 6,4≤x<6,5.

3) a€[0,5;0,7),

t=7 => 7,5≤x<7,7.

4) a€[0,7;1),

t+1+1+1=7,

t=4 => 4,7≤x<5.

Ответ: [4,7;5), [6,4;6,5), [7;7,4), [7,5;7,7).

Рассмотрим ещё одно задание [2].

Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый набор бесконечных цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что (2с-3)2=3a2-12c+46. Найдите все возможные значения числа c.

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Цена статьи

[c]=a € N,

c=a+t,

0≤t<1,

(2с-3)2=3a2-12c+46,

4c2-12c+9-3a2+12c-46=0,

4c2-37-3a2=0,

4c2-37-3[c]2=0,

4(a+t)2-37-3a2=0,

(a+t)2=,

a+t=,

t=-a,

t=--a — не подходит по условию задачи,

0≤-a<1,

1) ≥a,

3a2+37≥4a2,

a2≤37,

a€[-;] => a=6;5;4;3;2;1  (1)

2)  3a2+37<4(a+1)2,

3a2+37<4a2+8a+4,

Нужна помощь в написании статьи?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Подробнее

a2+8a-33>0 => a>3 (2)

Из (1) и (2) => a=4;5;6.

c=a+t=a+-a=.

 

При а=4 c=.

При а=5 с=2.

При а=6 с=.

Рассмотренные три способа замены позволяют успешно решить многие задачи с целой частью числа, таким образом повышая возможность выпускников школы получить более высокий балл на ЕГЭ.

Список литературы:

1.Алгебра для 9-го класса: учебное пособие для учащегося школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкина — М., Просвещение, 1995 года.

2.Математика. Подготовка у ЕГЭ-2010/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009. — 480 с. — («готовимся к ЕГЭ»).

3.Межрегиональное олимпиада школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений. 2011—2012 год. Режим доступа: [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: www.academy.fsb.ru

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте оценку первым.

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

542

Закажите такую же работу

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке