Содержание
Введение
1. Небольшой исторический экскурс
2. Построение фундамента для математики в 20-м веке
3. Об интуиции в математике
4. О математике вообще
5. Что есть истина в математике
Заключение
Список использованных источников
Введение
Если спросить человека, далёкого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, многие высказывания, опубликованные людьми науки на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер. Однако, если выбор философской концепции, в основном — дело вкуса, то от математики требуется определённая объективность решений.
Насколько актуален вопрос об истинности математических теорем в наше время, когда человечеством накоплен большой опыт, подтверждающий, с одной стороны, стабильность математических знаний, а с другой стороны — неизменную успешность применения математики в самых разнообразных областях науки и техники? Как это ни покажется странным, в свете внутреннего развития математики этот вопрос приобрёл ныне особую значимость в связи с произошедшим в последнее время изменением трактовки некоторых важных математических и метаматематических понятий.
Начиная с древности и до последнего времени существуют учёные, которые считают математику естественной наукой, предназначенной для изучения свойств реального мира, и критерием истинности математических утверждений полагают их соответствие «реальным фактам». Последнее и является главной причиной их пессимизма, поскольку вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, — за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.
Целью настоящей работы является по возможности объективный ответ на вопрос об истинности математических теорем, для чего необходимо уточнить само понятие истинности в математике. Это мы постараемся сделать в §5, но прежде необходимо рассмотреть эволюцию некоторых математических понятий.
Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.
Вопрос об истинности математических теорем зависит прежде всего от взгляда на природу самой математики, а также от понятия доказательства и некоторых других математических и метаматематических понятий. На эти понятия в научной и философской среде существуют разные точки зрения. 20-й век явился переломным в трактовке многих математических и философских вопросов в математике, хотя бы потому, что значительная часть метаматематики была математизирована и такие понятия, как доказательство и логика, используемая для его построения, приобрели вполне определённый формальный смысл. Эти достижения позволяют нам взглянуть на вопрос об истинности математических утверждений с совершенно новых позиций. При этом надо сказать, что пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции.
С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых, потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно. Существуют и другие трудности сопоставления математических закономерностей реальным фактам, о чём будет сказано в дальнейшем.
С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной. Здесь, правда, возникает вопрос о причинах успешной применимости математических теорем к реальному миру, на который можно дать различные ответы. С античных времен и вплоть до 19-го века была широко распространена точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, мы познаём и свойства реального мира. В книге [9], по этому поводу сказано следующее: «В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что Бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана». В новое время такое объяснение стало недостаточным, но никакой более подходящей альтернативы предложено не было.
В настоящей работе предлагается определенный взгляд на понятие истинности в (мета) математике и рассматривается вопрос о возможности убедительного доказательства истинности математических теорем. Несмотря на то, что в научной среде обычно преобладает прагматический подход к математике, всегда существует и идеальная точка зрения на математику, без которой математика превратилась бы в теоретические разделы различных естественных наук. Именно благодаря абстрактной математике человечество получило универсальный аппарат изучения самых различных явлений реального мира (см., напр. [11], [7]). Иногда говорят о существовании двух математик – теоретической и прикладной, однако правильнее было бы считать прикладные задачи специальным видом семантики для математических теорий, поскольку отделить прикладную математику от теоретической невозможно.
1. Небольшой исторический экскурс
Наиболее отчётливо различие во взглядах на природу математики проявилось у Платона (4 в. до Р.Х.) и его ученика Аристотеля. Первый, в соответствии со своей философской концепцией считал, что математика принадлежит миру чистых идей и потому её истины, как идеальные, абсолютны и неизменны. Напротив, приложения её к несовершенному миру вещей условны и преходящи, и в то же время постигнуть свойства вещественного мира можно только с помощью идеальной математики. Аристотель явно стоял на прагматическом отношении к математике, отводя ей роль вспомогательного инструмента для физики, которая строится на основании чувственного опыта. В дальнейшей истории науки эти две точки зрения постоянно сохранялись и сохранились до настоящего времени, изменяясь только в соответствии с изменением взглядов на такие понятия, как логика, доказательство, реальный мир и др.
Естественно, что и взгляды на понятие истинности математических теорем с этих точек зрения могут быть различными. Как уже было сказано, некоторые приверженцы прагматической точки зрения считают, что критерием истинности математического предложения является соответствие его описываемым им фактам вещественного мира, т.е. результатам наших наблюдений и экспериментов. Несостоятельность такого критерия в наше время достаточно очевидна, позднее мы скажем об этом ещё несколько слов. Что касается идеальной точки зрения, то здесь вопрос об истинности математических теорем приобрёл в новое время в значительной мере формальный характер, о чём речь будет идти в дальнейшем.
Основные принципы построения математики были явно провозглашены еще в античности. Аристотель определённо заявил о необходимости дедуктивного построения математических доказательств. При этом он считал, что истинность аксиом устанавливается безошибочной интуицией, а не опытом, который всегда имеет индуктивный характер, и шаги дедукции также определяются интуицией. В то же время он сформулировал некоторые логические принципы, которые следовало применять при построении доказательств. Можно считать это началом сознательного замещения интуитивной очевидности логическими заключениями. Этот процесс затянулся более, чем на два тысячелетия и принёс первые плоды только в новое время и в узком круге математических теорий, в то время как подавляющее большинство других математических теорий по-прежнему строится на интуитивной основе, но об этом – ниже. Позднее Евклид (3-й век до Р.Х.) описал аксиоматику геометрии, которая долгое время служила образцом для построения аксиоматических теорий, хотя с современной точки зрения она таковой не является. Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. В наше время, несмотря на появление формальных понятий логики и доказательства, подавляющее большинство доказательств строится на интуитивной основе. Поэтому вопрос о природе и роли интуиции в математике нуждается в специальном рассмотрении.
Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [9], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно). Сугубо прагматический подход соединяется в ней с крайне отрицательным отношением к “чистой” математике. Хорошо известно, что многие важные разделы математики зарождались в связи с потребностью решения прикладных задач, однако подавляющее большинство задач не могло бы быть решено без соответствующего развития абстрактной математики. Приверженцы прагматического подхода к математике основывают свою точку зрения на первом факте, хотя, строго говоря, он ничего не говорит в их пользу. В действительности процесс развития математики более правильно описывает следующее высказывание из работы [13], опубликованной ещё в 1913 году:
«…хотя математика возникает как средство для естествознания, но при своем развитии математический интерес получает для нас самостоятельное значение. … Перейдя за пределы простого средства, математика начинает развиваться совершенно свободно, под влиянием одних внутренних потребностей. Тогда никакие посторонние соображения уже не могут влиять на развитие математики и математика становится вполне автономной… Критерием ценности всех математических теорий становится уже не приносимая ими польза для познания внешнего мира, а лишь внутренняя стройность, красота и порядок, достигаемые при их помощи в нашем собственном сознании».
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
2. Построение фундамента для математики в 20-м веке
Вопрос о построении прочного фундамента математики, хотя и ставился некоторыми математиками в 19-м веке и ранее, но настоящую остроту он приобрёл после обнаружения противоречий в канторовской теории множеств, поскольку на неё возлагалась основная надежда построения основания для всей математики. Причиной такой надежды явилось то обстоятельство, что, с одной стороны, теория множеств основана на интуитивно очень простом и ясном понятии множества, более простом, чем понятие числа, и с другой стороны, в ней выразимы основные понятия Арифметики и Анализа, так что построив их модели в теории множеств, можно было бы доказать их непротиворечивость в случае надёжной непротиворечивости теории множеств. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены противоречия (обычно называемые парадоксами).
Наиболее простое из них – так называемый парадокс Рассела состоит в следующем. Все множества можно разделить на два вида: множества, содержащие самого себя в качестве своего элемента и множества, не содержащие себя в качестве элемента. Нетрудно привести примеры тех и других. Рассмотрим теперь множество Р всех множеств второго вида и поставим вопрос, какому виду оно принадлежит. (Оно должно принадлежать одному из этих видов, поскольку они исчерпывают все множества). Предположим, что множество Р принадлежит первому виду, т.е РÎР. Тогда, поскольку Р состоит только из множеств второго вида, то РÏР, т.е. РÎР => РÏР (1). Предположим теперь, что множество Р – второго вида, т.е. РÏР. Тогда Р должно быть множеством первого типа, т.е. РÎР. Итак, получили: РÏР => РÎР (2). Из (1) и (2) получаем: РÎР & РÏР – противоречие.
В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута.
Другие попытки решения вопроса об основаниях математики происходили в основном с трёх разных позиций или направлений, которые получили названия интуиционизма, логицизма и формализма. Схематически эти направления можно охарактеризовать следующим образом.
Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл». Для реализации этой идеи интуиционисты предложили рассматривать только такие объекты, для которых имеется потенциально осуществимая процедура их построения. Они получили название конструктивных объектов. Чтобы не выйти за рамки конструктивных объектов, интуиционистам пришлось сузить и логику, отказавшись от закона исключённого третьего. Путём сужения допустимых понятий интуиционисты рассчитывали достичь надёжной истинности математических теорем, а тем самым и непротиворечивости такой математики. Однако этот расчёт не оправдался, во-первых, потому, что вместо ясности интуиционистские понятия и теоремы оказались в большинстве случаев сложнее классических аналогов и тяжелее воспринимаемыми человеческой интуицией, чем последние. Во-вторых, надежда на очевидную непротиворечивость конструктивной математики не оправдалась: как показали дальнейшие исследования, к ней сводится непротиворечивость классической математики (см. например, [10]). Кроме того, исключение из математики всех понятий, неподдающихся конструктивному определению, и, в частности, понятия актуальной бесконечности, привело к ликвидации важнейших достижений классической математики. По этому поводу вполне резонны высказывания Д.Гильберта, сделанные в 1927г.: «…закон исключённого третьего ни в малейшей степени не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. … Отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксёру пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключённого третьего почти равносильно полному отказу от математической науки. Действительно, какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны без применения ε-аксиомы интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики!». Всё это естественно воспрепятствовало интуиционизму стать фундаментом всей математики. Главной причиной этой неудачи является, на наш взгляд, наложение на идеальные математические понятия искусственных ограничений, основанных на философских соображениях. Претензия интуиционистов на исключительную истинность своих воззрений и требование строить всю математику только на конструктивной основе послужили определённой изоляции этого направления от основной математики, хотя в некоторых её разделах (и в особенности – в метаматематике) использование конструктивного подхода вполне оправдано и иногда даже необходимо. Фактически гильбертовское понятие финитности есть не что иное, как одна из форм конструктивности. В своем развитии интуиционизм пошёл по пути формализма и, можно сказать, стал тенью классической математики, отбрасываемой на неровную поверхность. Детальная критика интуиционизма содержится в книге [5].
Логицизм возник на грани 19-20-го веков в связи с построением математической логики. Его основатели – Г.Фреге и Б.Рассел надеялись всю математику “вывести” из логики. Вот как характеризуется эта идея в книге [9]: «В начале ХХ в. Рассел, как и Фреге. надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными – и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена». Для этого необходимо было определить основные математические понятия в рамках чистой логики и тогда все математические теоремы будут получаться как логические следствия. Фреге, как ему казалось, определил таким образом натуральные числа, к которым сводятся многие математические понятия, и построил для них арифметику. Б.Рассел, хотя и обнаружил в этой арифметике противоречие, однако продолжил попытку реализовать идею логицизма.
Несостоятельность этой идеи стала практически общепризнанной после неудачи всех попыток её реализации и осознания содержания и свойств логики. Фактически в основе логицизма лежит слишком широкое понимание логики. Тот факт, что в языке логики предикатов выразимы при определённой интерпретации многие математические понятия, ещё не означает, что эти понятия со всеми своими свойствами принадлежат логике. Согласно общепринятому определению логики, сформулированному ещё Лейбницем, с которым Рассел – один из главных творцов логицизма — был согласен, логика – это то, что истинно во всех мирах. Это означает, что логика не содержит никаких фактических истин, относящихся к какому- либо конкретному миру. Совершенно ясно, что математические истины таким свойством не обладают, хотя бы потому, что существуют противоречащие друг другу теории. Такое понимание логики не позволяет включать в неё конкретные отношения, даже если они определяются логическими средствами. Однако логицисты считали логическим всё то, что им удалось выразить в языке логики предикатов. Вот мнение Д.Гильберта о таком подходе: “Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно – определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.”
Надо, однако, сказать, что окончательно вопрос о границах логики ещё не решен, но если говорить о принятой в современной математике классической логике предикатов первой ступени, то в силу её полноты, в рамках данного языка ни о каком расширении её речи быть не может. Что касается логики предикатов более высоких ступеней, то они не являются рекурсивно аксиоматизируемыми, и кроме того, недостаточно изучены. Поскольку позиции логицистов не были очерчены достаточно чётко, то варианты логицизма обсуждаются до последнего времени.
Формализм (или формальное направление в математике) представляет собой развитие древней идеи полной аксиоматизации математики, в модернизированном виде изложенную в так называемой “программе Гильберта”. Несмотря на то, что на поверхностный взгляд программа Гильберта была опровергнута результатами Гёделя, она фактически (с некоторыми поправками) стала главным подходом к основаниям математики. Поэтому рассмотрим её более подробно.
Программа Гильберта. Гильберт, пожалуй, был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации. В наше время такое утверждение не вызывает возражений, но ещё в начале 20-го века господствовала другая точка зрения, согласно которой математические понятия и теоремы с самого начала должны иметь содержательный смысл в виде аналогов в реальном мире или, точнее говоря, среди человеческих представлений о нём. Поэтому гильбертовская идеология вызвала неприятие со стороны прагматически настроенных коллег.
Уже древние греки хорошо понимали роль дедуктивного подхода к математике и значение четких логических правил для построения дедуктивных цепочек. Об этом свидетельствуют попытка Аристотеля описать такие правила, а также попытки Евклида и его предшественников аксиоматизировать математику. Однако в то время и долгое время спустя не было просто технических возможностей для формализации логики, а следовательно и математики. Само понятие логики не могло быть точно определено, поскольку для этого требуется чёткое разделение синтаксиса, как средства воплощения внешней формы теории, и семантики, как возможного содержания теории. Всё это стало ясным только в 20-м веке (хотя подобные идеи высказывал уже Лейбниц, 1646 — 1716). Начало систематического построения математической логики и, в частности, её языка положили Д.Буль (1815 – 1864), Г.Ф.Л.Фреге (1848 – 1925), Д.Пеано (1858 – 1932), Э.Ф.Ф.Цермело (1871- 1953). Современная форма математической логики в виде аксиоматизированной теории была выработана в основном благодаря работам Рассела и Уайтхеда, и в особенности Гильберта и Бернайса. Несколько позднее было разработано общее понятие формальной системы, частным случаем которой является аксиоматическая (или аксиоматизированная) теория. После того, как в “наивной” т.е. интуитивно построенной Г.Кантором (1845 — 1918) теории множеств были обнаружены противоречия, главной задачей в основаниях математики стало создание таких методов построения математических теорий, которые гарантировали бы их непротиворечивость. Интуиционизм фактически не давал и не мог дать никаких гарантий непротиворечивости математики, несмотря на сужение класса объектов и логики, поскольку не вносил принципиальных изменений в методы доказательства. Осуществимость логицистского подхода с самого начала была весьма проблематична и остановилась на уровне идей. Жизнеспособным и даже единственным путем дальнейшего развития математики явился путь, намеченный Д.Гильбертом в его “программе”.
Хотя в то время в сознании математиков синтаксис математического языка был неотделим от содержания, Гильберт фактически предложил строить именно синтаксическую компоненту теории по чисто формальным правилам в виде аксиоматического исчисления, и формально же доказав его непротиворечивость, должным образом интерпретировать нужные теоремы. Разумеется, он понимал, что доказательство непротиворечивости теории её же средствами не имеет смысла, и поэтому он предполагал доказывать непротиворечивость “финитными” средствами, гарантирующими отсутствие противоречий. Точного понятия финитности он не дал, но судя по отдельным примерам, — это некоторая достаточно сильная форма конструктивности. Для того времени эта идея Гильберта была слишком необычной и вызвала критику многих его коллег, обвинивших его в “игре формулами”. Однако дальнейшее развитие оснований математики пошло именно по этому пути, несмотря на то, что Гёделем были доказаны такие отрицательные свойства достаточно богатых формальных теорий, как неполнота и несуществование в непротиворечивой теории доказательства её непротиворечивости (впрочем, это относится только к теориям в языке первой ступени – см. §4).
Очень важной для развития математики оказалась сама идея отделения синтаксиса от семантики. Кроме того, гильбертовский подход привёл к появлению математизированной метаматематики (подробнее – в 4).
3. Об интуиции в математике
Вопросу о роли интуиции в науке, и в частности, в математике посвящено много работ (см. например, [1], [5]) преимущественно философского характера. Ввиду большого разнообразия философских взглядов многие работы только запутывают главный вопрос о природе интуиции. Заметим сразу, что нас интересует только разновидность интуиции, которую принято называть «интеллектуальной», каковой является и математическая интуиция. Поэтому в дальнейшем слово «интеллектуальная» мы опускаем.
Следует сказать, что до 20-го века, в котором была создана математическая логика и появилась возможность построения чисто логических доказательств, интуиция считалась законным средством доказательства. Более того, Декарт, Паскаль и другие математики того времени говорили о ненадёжности логических доказательств по сравнению с интуитивным прозрением. Очень чётко такой взгляд на интуицию сформулировал Декарт в своих “Правилах для руководства ума” [8], где он пишет: “Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция…”. Надо сказать, что подобной точки зрения на интуицию вплоть до 20-го века придерживались все математики, несмотря на различие их философских концепций. Такое единство взглядов, а главное то, что интуитивно доказанные теоремы сохраняют свою правильность и в наше время, свидетельствует об объективной основе интуиции. После обнаружения противоречий в интуитивно построенной теории множеств отношение к понятию интуиции существенно изменилось и формально математическое доказательство стало считаться правильным, если оно построено только по логическим законам. Однако фактически понятие доказательства в содержательной (т.е. неформализованной) математике осталось прежним, а именно, оно строится иногда со ссылками на логику, но большей частью шаги дедуктивной цепочки обосновываются интуитивной очевидностью. При этом критерием объективности (а потому и правильности) такого доказательства служит апробация коллективом других математиков. Таким образом, по-прежнему в основе неформального понятия доказательства лежит интуиция, объективность которой обосновывается путём апелляции к определенному коллективу людей. Этот, на первый взгляд субъективный критерий, действовал во все времена и дал миру необозримое множество математических теорем, истинность которых, в отличие от достижений эмпирических наук, не подвержена влиянию времени: теоремы, доказанные в древности, верны и в наше время. Поэтому естественно предположить, что этот факт имеет объективную причину, которая заключается в способности человеческого разума непосредственно усматривать определенные истины (по крайней мере, — логические).
Отсутствие вплоть до 20-го века какого-либо полного описания логики, а потому и общепринятого понятия доказательства не помешало строить в подавляющем большинстве случаев логически правильные доказательства. Если приведенное выше высказывание Декарта выражало мнение всех его современников и предшественников, то в наше время ситуация изменилась в связи с появлением нового раздела математики, посвящённого основаниям математики и включающего в себя основные метаматематические понятия. Появлению этого раздела сопутствовало создание формальной математической логики и общих понятий формальной теории и формального доказательства. В связи с этим изменились требования и к неформальным доказательствам: теперь от них требуется, чтобы каждый шаг дедукции мог быть осуществлен по правилам математической логики. Нельзя сказать, что это требование выполняется во всей математике, однако в теориях, связанных с основаниями математики, такое условие необходимо. Возникает вопрос: всякое ли интуитивно построенное доказательство может быть преобразовано в формально- логическое? Поскольку интуитивные доказательства так же, как и формальные, строятся в виде дедуктивных цепочек, то можно говорить о некоей логике интуитивных доказательств – интуитивной или содержательной логике. Поставленный вопрос может быть решён положительно, если установить равносильность содержательной и формальной логик. В наше время на основании опыта построения формальных теорий принято считать, что содержательная логика отличается от формальной только наличием укрупнённых правил, которым соответствуют производные (т.е. доказуемые) формальные правила. Это означает, что для всякого содержательного доказательства существует эквивалентный формальный аналог, построенный в рамках классической логики предикатов и являющийся восполнением интуитивного доказательства. Принятие этого утверждения в качестве рабочего тезиса не менее оправдано, чем принятие тезиса Чёрча для вычислимых функций [10]. Фактически, этот тезис уже принят в современной математике и называется иногда “тезисом Гильберта”(см., напр.,[2], с.49).
Если обратиться к истории не только математики, но и науки вообще, то легко убедиться в том, что большинство кардинальных научных открытий произошло путём неожиданных «прозрений», т.е. интуитивно, а не путём логических умозаключений. Сам термин «интуиция», обозначающий в переводе на русский язык «усмотрение» или «видение», т.е. непосредственное восприятие объекта, даёт основание утверждать существование у человека определённой способности «интеллектуального умозрения», наподобие чувственного зрения. Об этом же свидетельствует вся история попыток «научить» вычислительные машины доказывать математические теоремы хотя бы на уровне человека. Большое число самых разных программ не дало ожидаемых результатов, и как теперь стало ясно, формальный подход не может их дать ввиду чрезвычайной сложности задачи, заведомо недоступной для сколь угодно мощной техники (даже в далёкой перспективе). Этот факт вынуждает нас признать наличие у человека особой способности восприятия логических истин, отличной от обычного логического мышления. Эта способность, в силу её принципиальной неформализуемости, не может быть смоделирована в автоматах, и потому любой искусственный интеллект будет ущербен по сравнению с человеческим интеллектом. Поэтому интуиция никогда не потеряет своего значения как важный инструмент познания.
Определённый взгляд на значение интуиции в математике связан с интуиционизмом, о котором шла речь в предыдущем пункте.
4. О математике вообще
Можно привести ряд признаков, отличающих математику от естественных наук. Одним из них является тот факт, что (по крайней мере, в большей части современной математики) математические объекты не претендуют на роль адекватных аналогов реальных объектов. Более того, наличие у формальной теории реальной (т.е. материальной) модели не может служить доказательством её непротиворечивости, поскольку идеальные математические объекты и отношения могут быть адекватно соотнесены только с идеальными же понятиями. Поэтому математика фактически является замкнутой в себе системой, а следовательно, и все её понятия и утверждения не должны зависеть от каких-либо внешних моделей. В этом свете возражения неономиналистов против использования в математике некоторых теоретико-множественных понятий на том основании, что они не имеют реальных аналогий, являются совершенно несостоятельными.
В то же время с помощью математических теорий решаются многие задачи реального мира и предсказывается развитие некоторых процессов в нем. Этот факт свидетельствует об определённой объективности абстрактных математических конструкций, но отнюдь не о какой-то зависимости математики от вещественных понятий. Это свидетельствует также и об объективности классической логики, которая лежит в основе всех математических теорий (кроме интуиционистских, логика которых является фрагментом классической). В подтверждение этой точки зрения, которая оспаривается некоторыми математиками (см., например, [9]), приведем высказывания известных математиков и физика.
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
М.Кац и С.Улам [11]: «Математика – это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большей мере продолжает приносить её сейчас».
Е.Вигнер [7]: «С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».
Он же [7]: «Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком».
Он же [7]: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет – хорошо это или плохо – развиваться к нашему большому удовлетворению, а может быть, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира».
Думаем, что большинство математиков в основном согласно с приведёнными высказываниями, хотя поставленный в них вопрос о непонятной эффективности математики в описании реальных явлений оставлен без ответа. Однако от ответа на этот вопрос зависит правильное понимание роли математики в познании реального мира – является ли математика лишь удобным языком, или её связь с реальным миром более глубокая. Одна из гипотез, имеющая древнее происхождение, состоит в том, что мир устроен по математическим (и следовательно, идеальным) законам и потому математические теории адекватно описывают строение реального мира. Непосредственно в таком виде эта гипотеза, хотя и достаточно правдоподобна, но мало содержательна, поскольку не объясняет существа самого явления. Другая гипотеза предполагает, что существует единая логика, присущая как человеческому мышлению, так и устройству реального мира. Эта гипотеза имеет косвенное подтверждение, основанное на предположении единственности логики, что выглядит весьма правдоподобно в силу самого понятия логики, как истинности во всех мирах. Тот факт, что логика (по крайней мере, основной её фрагмент) в наше время получила полное формальное описание, позволяет нам судить о логических, т.е. самых общих закономерностях реального мира, и потому в той мере, в какой эмпирические данные, играющие роль аксиом, соответствуют реальности, математические теории будут правильным описанием реальных закономерностей. Поэтому математика – это не просто удобный язык для описания реального мира, но и надежное эвристическое средство, позволяющее предсказывать неизвестные ранее явления, которые логически следуют из эмпирических аксиом.
Отметим некоторые особенности современной математики. В настоящее время математические теории разделяются на формализованные (т.е. являющиеся формальными системами) и неформализованные, которые мы будем называть содержательными или интуитивными. Последние строятся традиционно интуитивно, исходя из семантических свойств основных объектов. Построение математической теории в виде формального исчисления, во-первых, дает точное описание всех её постулатов — аксиом и, во-вторых, наличие формального доказательства какого-либо предложения делает абсолютным факт его следования из аксиом теории, поскольку правильность формального доказательства алгоритмически проверяема. Кроме того, для формальной теории имеется больше возможностей доказательства её метатеоретических свойств, в частности, непротиворечивости. В то же время формализация теории, предназначенной для изучения какого-либо содержательного объекта, в некоторых случаях может ограничить возможности теории в смысле полноты описания свойств этого объекта. Так обстоит дело, например, с формальной арифметикой натуральных чисел в языке первой ступени, которая не полна по отношению к содержательной теории натуральных чисел и не может быть пополнена, что означает существование истинных арифметических предложений, которые не могут быть доказаны в формальной арифметике (т.е. формально не следуют из её аксиом). Это явление иногда расценивается как отрицательное свойство всех формальных теорий, однако оно относится только к теориям в языке первой ступени. Что касается более богатых языков, то этот вопрос для них в достаточной мере ещё не изучен. Например, в языке второй ступени формальная арифметика семантически полна [3].
5. Что есть истина в математике
В естественных науках под истинностью какого-либо предложения (в языке данной науки) понимается определённая адекватность семантического значения этого предложения семантическому значению соответствующего предложения в “языке фактов”. Язык фактов – это естественный или символический язык, который используется для описания результатов наблюдений или экспериментов в какой-либо области реального мира. При этом молчаливо предполагается, что описание фактов адекватно самой реальности, поскольку в противном случае теряется познавательное значение науки. Такое понимание научной истины обладает существенным недостатком: оно зависит от тезавруса, т.е. накопленных ранее знаний и базовых языковых конструкций, от технических достижений в области эксперимента и т.п., т.е. является относительным и зависящим от времени. С этим приходится мириться, поскольку других возможностей нет. Однако естественным и общепринятым свойством истины является её неизменность, т.е. независимость от времени и других условий. Прагматический подход к математике ставит математику в один ряд с естественными науками и потому не позволяет говорить о надёжной истинности её теорем (что проходит красной нитью в книге [9]). На самом же деле ситуация в математике принципиально иная: как свидетельствует исторический опыт, однажды доказанные предложения – теоремы остаются доказанными (в данной теории) навсегда. Например, в книге [11] по этому поводу сказано следующее: «В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать». Одного этого достаточно, чтобы не сомневаться в прочности математического здания и высшей степени объективности доказанных математических истин. Тем не менее, в свете современной математизации метаматематики мы должны рассмотреть этот вопрос с более формальных позиций.
Что же следует понимать под истинностью теорем в идеальной математике? Начиная с древности и до сравнительно недавнего времени математические понятия рассматривались как идеализированные объекты реального мира, а математические аксиомы считались очевидными свойствами таких объектов. Доказательство какого-либо утверждения представляло собой цепочку умозаключений, каждое из которых сохраняет истинность, идущую от бесспорных посылок. Поэтому считалось, что доказанность теоремы гарантирует её реальную истинность, так что эти понятия просто отождествлялись. При таком взгляде вопрос о непротиворечивости системы посылок не возникал. В новое время, когда математические понятия не соотносятся с реальными объектами, а модели математических теорий строятся внутри самой математики, сходное по форме понятие истинности изменилось по существу. Прежде всего, ссылка на содержательный («реальный») смысл исходных понятий и их свойств уже не считается гарантией непротиворечивости даже интуитивно построенной содержательной теории. Поскольку в противоречивой теории доказуемы и ложные предложения, то доказательство непротиворечивости теории (или, что то же, системы её аксиом) стало непременным условием истинности её теорем. Относительно доказательств следует отметить, что для формальных теорий понятие доказательства имеет точное формальное определение. При этом вопрос о том, является ли произвольная цепочка формул доказательством или нет, решается алгоритмически, т.е. объективно, и следовательно, множество доказательств разрешимо. (Заметим, что это не означает разрешимости множества теорем. Оно неразрешимо уже для чистой логики предикатов). Что касается неформальных доказательств, составляющих фактическое большинство и в наше время, то по современным меркам они должны быть настолько «логическими», чтобы был возможен перевод их в формальные. Можно сказать, что тезис Гильберта (см. §3) теперь фактически является не гипотезой, а требованием, которому должны удовлетворять математические доказательства. Таким образом, одна компонента понятия истинности математических теорем – доказанность – выглядит вполне надёжно обоснованной. Подробнее о ней мы ещё скажем ниже. Иначе обстоит дело с непротиворечивостью, о чём мы также будем говорить ниже.
Итак, мы можем констатировать, что вопрос об истинности теорем сводится к вопросам правильности доказательств и непротиворечивости теорий.
Заключение
1. Математика является замкнутой в себе наукой, не нуждающейся в каких-либо внешних критериях истинности её теорем. В то же время она с большим успехом используется для решения естественнонаучных задач. Это обстоятельство послужило поводом считать математику естественной наукой, предназначенной для изучения реального мира, и таким образом критерий истинности её теорем был выведен за пределы математики и поставлен в зависимость от «реальных фактов». В наше время, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл, несостоятельность такой точки зрения стала вполне очевидной, во-первых, потому, что не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, и во-вторых, естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий.
2. В математике истинность теоремы отождествляется с выводимостью (доказуемостью) её из непротиворечивой системы посылок (аксиом). Вывод или доказательство представляет собой дедуктивную цепочку, каждый шаг которой обосновывается каким-либо логическим правилом, принадлежащим формальной математической логике. Фактически подавляющее большинство доказательств содержат шаги дедукции, основанные на интуитивной очевидности. Поэтому требуется, чтобы интуитивно очевидные шаги имели логический эквивалент. Как правило интуитивные доказательства этому требованию удовлетворяют, что позволило принять соответствующий тезис, названный тезисом Гильберта, об эквивалентности интуитивных и логических доказательств.
3. Вопрос о непротиворечивости математических теорий до 19-го века практически не возникал, поскольку считалось, что математические понятия отражают свойства реального мира, которые не могут быть противоречивыми. К тому же, кроме ссылки на какую-либо реальную модель, не существовало других средств доказательства непротиворечивости. К концу 19-го века этот вопрос назрел, а в 20-м веке, благодаря формализации математических теорий, получил возможность решения математическими средствами. При этом было осознано, что ссылка на реальную модель не является доказательством непротиворечивости, поскольку не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным объектам.
Следует заметить, что вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, поскольку в достаточно развитой математике, каковой является современная математика, обязательно должны существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому речь может идти только о непротиворечивости отдельных теорий, например, формальной арифметики или формальной теории множеств и т.п. Подчеркнём, что речь идёт в основном о формальных теориях, поскольку содержательно («наивно») построенные теории не столь уязвимы со стороны противоречивости, как формальные, ибо содержательная теория не предстаёт перед нами в целом, а только — в виде построенного к данному времени фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в процессе его построения. Поэтому вопрос о непротиворечивости наиболее актуален для формальных теорий и в основном в связи с общей проблемой оснований математики. В этом направлении в 20-м веке получено много кардинальных результатов, существенно расширивших и углубивших наши представления о математике. Разумеется, многие важные проблемы, как в области математической логики, так и в области основополагающих математических теорий (например, теории множеств) остаются нерешенными, но это явление естественно для всякой науки.
В заключение следует отметить, что математика не вписывается в принятое деление наук на естественные и гуманитарные, и ей более подходит особый статус универсальной науки.
Список использованных источников
1. В.Ф.Асмус. Проблема интуиции в философии и математике. «Мысль», М.1965.
2. Дж. Барвайс. Введение в логику первого порядка. Справочная книга по математической логике. Ч.1. «Наука», М.1982. Пер. с англ..: Handbook of mathematical logic. J. Barwise (Ed). North-Holland P.C. 1977.
3. Дж.Булос, Р.Джеффри. Вычислимость и логика. М. «Мир» 1994. Пер. с английского: George S. Boolos, Richard C. Jeffrey. Computability and logic. Cambridge University press, 1989.
4. Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. Философские и методологические проблемы математики. Изд-во Московского университета, 1981.
5. М.Бунге. Интуиция и наука. «Прогресс», М. 1967. Пер. с английского: M.Bunge. Intuition and Science. New York, 1962.
6. Н.Бурбаки. Начала математики. Ч.1, кн.1. Теория множеств. Мир. М. 1965. Пер. с французского.: Elements de Mathematique par N.Bourbaki. Livre 1. Theorie des ensembles. Troisieme edition, 1958.
7. Е.Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. УФН, т.94, вып.3, 1968, 535 – 546. Пер. с англ.: E.Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960).
8. Р.Декарт. Правила для руководства ума. Избранные произведения. М.1950. Пер. с французского: Descartes R. Oeuvres, t. X. Paris, 1908.
9. М.Клайн. Математика. Утрата определённости. М.”Мир”, 1984. Пер. с англ.: Morris Kline. MATHEMATICS. The Loss of Certainty. N- Y, OxfordUniversity Press, 1980.
10. С.К.Клини. Введение в метаматематику. ИЛ М. 1957. Пер.с англ. : Introduction tu metamathematics by Stephen Cole Kleene. 1952. D.van Nostrand Company, inc. New York , Toronto.
11. М.Кац, С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы.
«Мир», М. 1971. Пер. с англ.: Mathematics and Logic. Retrospect and Prospects. Mark Kac and Stanislaw M. Ulam. N.-Y. Washington. London. 1968.
12. Мальцев А.И. Алгебраические системы. «Наука», М. 1970. 13.Менделеев И. Метод математики. С-П., 1913.
13. Математическая энциклопедия. Изд. «Советская энциклопедия», т.1, М. 1977.