Рисунок 1. Вращение прямой L вокруг оси z
«При этом вращении прямой L, каждая её точка N вращается вокруг соответствующей точки N1 оси z, образуя окружность. Семейство полученных таким образом окружностей зависит от параметра z и является искомым цилиндром» [1, с. 122].
«Проведём аналогичное вращение, поднявшись на размерность выше, вращая плоскость α, расположенную в пространстве Otyz, x=0 (аналог прямой L) вокруг координатной плоскости β Otz, y=0, x=0 (аналог оси z) в четырёхмерном пространстве (рис. 1, рис. 2). Из рисунка 2 видно, что прямые l1 и l2, лежащие на плоскости α перпендикулярно координатной плоскости Oyt, x=0, z=0 вращаются соответственно вокруг прямых m1 и m2, расположенных на плоскости Otz, y=0, x=0» [2, с. 33].
При этом прямая l1 своим вращением образует цилиндр в пространстве Oxyz, t=0, уравнение которого имеет вид 
.
Очевидно, любая прямая плоскости α, параллельная l1, вращаясь вокруг своей оси, также порождает двумерную поверхность — цилиндр в трёхмерном пространстве.
Рисунок 2. Вращение плоскости α вокруг плоскости β
Совокупность всех прямых данной плоскости, параллельных l1, будут порождать семейство двумерных цилиндров с параметром t, образующее трёхмерную поверхность в четырёхмерном пространстве Oxyzt. Уравнением цилиндра данного семейства при фиксированном значении t=t0 является
Отпуская параметр t с фиксированного значения t0, получим уравнение 
(1).
Данное уравнение описывает геометрический образ трёхмерной поверхности, полученной вращением плоскости α вокруг плоскости β, в четырёхмерном пространстве.
Рассмотрим прямую n, которая является пересечением α с плоскостью Oyt, x=0, z=0.
Проанализируем, как вращается произвольно взятая точка N на рассматриваемой прямой при вращении плоскости α вокруг координатной плоскости β. Из рисунка 2 видно, что точка N описывает окружность вокруг оси Oz, располагаясь в плоскости Oxy, z=0, t=0.
Однако точка N также вращается и вокруг оси Ot, так как данная ось также перпендикулярна плоскости окружности и пересекает эту плоскость в той же точке, что и ось Oz (рис. 4). Это означает, что прямая n вращается вокруг оси Ot (так как вокруг оси Ot вращается каждая её точка). При этом в пространстве Oxyt, z=0 образуется двумерный круговой цилиндр Ц (рис. 3), который является направляющей поверхностью цилиндра (1), полученного вращением плоскости α вокруг плоскости β (рис. 3, рис. 5). Уравнение этого цилиндра имеет вид 
Заметим, что при вращении отрезка вокруг оси получается цилиндр, в основании которого находится окружность, т. е. одномерная сфера. «В случае вращения прямоугольника с двумя бесконечными противоположными сторонами вокруг плоскости образуется трёхмерный цилиндр, в основании которого находится двумерный цилиндр» [3, с. 235].
Рисунок 3. Круговой цилиндр Ц, полученный вращением плоскости α вокруг плоскости β
Рисунок 4. Точка Q одновременно вращается вокруг оси Oz и Ot
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Рассмотрим на рис. 5 как вращается плоскость α вокруг плоскости β. На рисунке видно, что каждая прямая плоскости α, параллельная оси Oz описывает цилиндр. Совокупность вращений всех этих прямых создаёт вращение плоскости α вокруг β и при этом создаётся иллюзия прохождения α сквозь плоскость β (хотя во время вращения плоскостине должны пересекаться).
Рисунок 5. Вращение плоскости α вокруг плоскости β
Зададимся вопросом. Возникнет ли у двумерного человека подобная иллюзия при его попытке наглядно представить вращение прямой относительно другой прямой в трёхмерном пространстве?
Пусть плоскость α является пространством двумерного человека и параллельные прямые σ и σ1 расположены в этой плоскости. При вращении прямой σ вокруг σ1 каждая точка N прямой σ движется по окружности, расположенной в трёхмерном пространстве (рис. 6, б)). Жизненное пространство двумерного человека ограничено плоскостью α. Поэтому пытаясь представить окружности, получаемые движением точек σ, он вынужден расположить их в своей плоскости (рис. 6, а)). В результате у него прямая σ как совокупность вращающихся точек будет двигаться в плоскости α. При этом неизбежно возникнет иллюзия того, что вращаемая прямая при своём движении проходит через ось σ1. В действительности же прямая σ, движется вне плоскости по третьему измерению, образуя круговой цилиндр. Также и в четырёхмерном пространстве мы вынуждены представлять движение плоскости в том же пространстве, где находимся сами. В реальности при вращении плоскость, выйдя из нашего пространства, движется по четвертому измерению.
Рисунок 6. а) Двумерный человек, пытаясь представить окружности, получаемые движением точек σ, он вынужден расположить их в плоскости; б) При вращении прямой σ вокруг σ1 каждая точка N прямой σ движется по окружности, расположенной в трёхмерном пространстве
Приведём рассуждения логически объясняющие, почему плоскости α и β не пересекаются при рассматриваемом вращении на рисунке 5. Пусть параллельные пространства P и Q получены движением плоскостей p и q (рис 7, а)). Далее рассмотрим на рисунке 7, б) трёхмерный цилиндр, получаемый вращением плоскости α (α проходит через прямые l1, l2) вокруг плоскости β (β проходит через прямые m1, m2). При данном вращении каждая точка прямой l1 вращается вокруг оси m1 в пространстве P=Oxyz. Плоскость β пересекается с пространством P только по прямой m1 (рис. 7, б)). Поэтому прямая l1 при своём вращении не пересекает плоскость β. Точно также прямая l2, вращаясь вокруг прямой m2 в пространстве Q, не будет пересекать плоскость β. Проделанные рассуждения можно распространить и на остальные прямые, лежащие на плоскости α параллельно прямым l1, l2. Следовательно, плоскость α не пересекает плоскость β.
Рисунок 7. а) Параллельные пространства P и Q получены движением плоскостей p и q; б) Трёхмерный цилиндр, получаемый вращением плоскости α вокруг плоскости β
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Далее мы будем рассматривать геометрические объекты, получаемые вращением одномерных кривых вокруг плоскости в четырёхмерном пространстве. Рассмотрим вращение кривой p (рис. 8). Сразу понять, что представляет собой поверхность вращения данной кривой достаточно сложно. Однако оказывается, что знание строения цилиндра (рис. 5), получаемого вращением одной плоскости вокруг другой в четырёхмерном пространстве, позволяет достаточно просто представить геометрические образы вращения кривых вокруг некоторой плоскости.
Точка N, лежащая на кривой p (рис. 8, рис. 9) будет описывать окружность, которая является направляющей цилиндра Ц, расположенного в пространстве Oxyz, t=0 ввиду того, что точка N лежит на прямой l, вращение которой образует цилиндр Ц. Нетрудно понять, что остальные точки кривой также будут описывать окружности в пространствах Oxyz при различных значениях t. Совокупность этих окружностей определяет трубчатую двумерную поверхность в четырёхмерном пространстве с образующей кривой p. Сечениями этой поверхности пространствами Oxyz, 
будут пары рассмотренных окружностей. Проекция данной поверхности на координатное пространство Oxyz, t=0 представляет собой двумерный цилиндр Ц (рис. 9). На рисунках 10, 11 и 12 представлены одномерные геометрические объекты и их поверхности вращения. Рис. 10 и рис. 11: а) отрезки; б) поверхности вращения — «шайба» и усечённый конус. Рис. 12: а) два взаимно перпендикулярных пересекающихся отрезка — «крест»; б) поверхность вращения — два пересекающихся цилиндра, лежащие в двух взаимно перпендикулярных пространствах.
Рисунок 8 . Вращение кривой p
Рисунок 9. Проекция поверхности на координатное пространство представляет двумерный цилиндр Ц
Рисунок 10. а) Одномерный геометрический объект — отрезок; б) Поверхность вращения — «шайба»
Рисунок 11. а) Одномерный геометрический объект — отрезок; б) Поверхность вращения — усечённый конус
Рисунок 12. а) Одномерный геометрический объект — два взаимно перпендикулярных пересекающихся отрезка — «крест»; б) Поверхность вращения — два пересекающихся цилиндра, лежащие в двух взаимно перпендикулярных пространствах
Заключение: разработан метод, на интуитивном уровне формирующий представление о геометрических образах поверхностей вращения в четырехмерном пространстве.
Список литературы:
1.Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 672 с.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
2.Баишева М.И., Кутукова Л.Т. Тезисы XI Республиканской научно-методической конференции, посвященной 90-летию В.В. Алексеева и 80-летию Т.Н. Селляховой. Якутск: ИД СВФУ, 2014. — 56 с.
3.Гриб Е.Н., Гриб Н.Н., Павлов С.С. Материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов в г. Нерюнгри, с международным участием. Том 2. Нерюнгри: Печатный Двор, 2013 — 436 с.