ABSTRACT
The stability domain of a discrete neural network are obtained by numerical experiments. The network has a torus architecture. The stability domains of a neural networks of toroidal, cylindrical, similar field architectures are compared. The problem is reduced to the matrix delay equations of higher order.
Ключевые слова: нейронные сети; разностные матричные уравнения; устойчивость; конфигурация «тор».
Keywords: neural networks; difference matrix equations; stability; torus.
Нейронная сеть это система соединённых между собой и влияющих друг на друга искусственных нейронов. Нейроны периодически посылают сигналы друг другу. Из-за запаздываний в передаче сигналов в нейронных сетях иногда возникают нежелательные колебания, это называется неустойчивостью.
Искусственные нейронные сети с 
нейронами в дискретном линеаризованном варианте описываются разностными уравнениями [3—5]
. (1)
Мы рассматриваем нейронную сеть из девяти нейронов с архитектурой связей в виде тора (Рисунок 1).
Рисунок 1. Нейронная сеть конфигурации «тор»
Уравнение (1) для этой нейронной сети примет вид
, (2)
где 
единичная матрица размером 
, 
коэффициент демпфирования собственных колебаний нейронов, 
, 
матрица взаимодействий между нейронами в сети с запаздыванием 
, 
9-мерный вектор состояния нейронной сети в момент 
.
Матрица взаимодействий имеет вид
, (3)
где 
сила взаимодействия между нейронами, действующая по часовой стрелке, 
сила между нейронами, действующая против часовой стрелки.
Устойчивость нейронной сети это стремление к нулю векторов состояний при 
, при любых начальных условиях.
Характеристическое уравнение для матричного уравнения (2) таково:
(4)
Уравнение (4) имеет порядок 
, где — запаздывание, — количество нейронов в сети. Нейронная сеть является асимптотически устойчивой, если корни характеристического уравнения 
удовлетворяют условию
(5)
При фиксированном значении запаздывания и фиксированном коэффициенте демпфирования 
с помощью программы Mathcad была определена область устойчивости в плоскости 
.
Рисунок 2. Область устойчивости тора в плоскости 
при 
В процессе проведения численного эксперимента было установлено, что коэффициент запаздывания влияет на размер и форму области устойчивости для нейронной сети, представленной на Рисунке 1 и описанной уравнением (2) с матрицей взаимодействий (3). Были рассмотрены запаздывания на 1, 2, 3, 4 и 5 тактов (Рисунок 2). При увеличении коэффициента запаздывания , область устойчивости нейронной сети в виде тора уменьшается.
Рассмотрим нейронную сеть, получаемую в результате разрыва некоторых связей между нейронами сети с топологией в виде тора. Топологию этой сети назовем «цилиндр» (Рисунок 3). В работе [1] была рассмотрена нейронная сеть в виде цилиндра из шести нейронов.
Рисунок 3. Конфигурация и матрица взаимодействий нейронной сети в виде цилиндра из девяти нейронов
Если разорвать некоторые связи в цилиндре, то получим нейронную сеть с архитектурой связей в виде однородного плоского поля (решетки) [2].
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Рисунок 4. Конфигурация и матрица взаимодействий нейронной сети в виде решетки
Рисунок 5. Области устойчивости тора, цилиндра и однородного плоского поля в плоскости при 
и 
Сравнивая области устойчивости нейронных сетей разных конфигураций (Рисунок 5), можно сделать вывод, что при разрыве некоторых связей конфигурация становится более устойчивой [5] при значениях коэффициента запаздывания 
.
Рисунок 6. Области устойчивости тора, цилиндра и однородного плоского поля в плоскости при и 
При 
(Рисунок 6a) область устойчивости однородного поля шире области устойчивости цилиндра, а область устойчивости цилиндра шире области устойчивости тора, но есть точки [5], в которых тор устойчив, а цилиндр и решетка неустойчивы (область 1) и есть точки, в которых тор и цилиндр устойчивы, а решетка неустойчива (область 2).
При 
(Рисунок 6b) область устойчивости решетки в целом шире области устойчивости цилиндра, а область устойчивости цилиндра везде шире области устойчивости тора, но есть точки, в которых тор неустойчив, цилиндр устойчив и решетка неустойчива (область 1) и есть точки, в которых тор и цилиндр устойчивы, а решетка неустойчива (область 2) .
Список литературы:
1.Иванов С.А., Козлова С.А., Невзорова Е.Н. Устойчивость рекурсивных нейронных сетей цилиндрической архитектуры с запаздывающими взаимодействиями // «Инновации в науке»: материалы XVI международной заочной научно-практической конференции. Новосибирск: Изд. «СибАК», — 2013. — Ч. 1. — С. 7—11.
2.Иванов С.А., Пархоменко А.А. Устойчивость плоского однородного нейронного поля // «Инновации в науке»: материалы XVI международной заочной научно-практической конференции. Новосибирск: Изд. «СибАК», — 2013. — Ч. 1. — С. 11—16.
3.Ivanov S.A., Kipnis M.M. Stability analysis of discrete-time neural networks with delayed interactions: torus, ring, grid, line. // International Journal of Pure and Applied Math. (2012) V. 78(5). — P. 691—709.
4.Khokhlova T.N., Kipnis M.M. Numerical and qualitative stability analysis of ring and linear neural networks with a large number of neurons // International Journal of Pure and Applied Math. (2012) V. 76(3). — P. 403—419.
5.Khokhlova T.N., Kipnis M.M. The breaking of a delayed ring neural network contributes to stability: The rule and exceptions // Neural Networks (2013) V. 48. — P. 148—152.