;I, J, K,…
σ,ρ,τ,…=
i, j, k,…
; α,β,γ,…
.
ABSTRACT
Given a presentation of H-distribution of Pn [7]. Considered fields of geometric objects in the differential neighborhood of the 1st order [3], [4]. Built normalizations[5] in the sense of Norden and kvazinormali[6] of the main structural subbundles, in the differential neighborhood of the 1st, 2nd order. Study of H-distributions is important, because these images are generalizations of the special classes of regular hyperbands [2] and hyperband distribution [9]. Work performed by G.F. Laptev [3] Indices:
;I, J, K,…σ,ρ,τ,…=i, j, k,…; α,β,γ,….
Ключевые слова: распределение; тензор; квазитензор; нормализация; квазинормаль; геометрический объект.
Keywords: distribution; tensor; kvazitensor; normalization; quasinormal; geometric object.
§ 1. Задание H-распределения в n-мерном проективном пространстве
Определение. Скомпонованным гиперплоскостным распределением (H-распределением) [7] называется гиперплоскостное Н-распределение, в каждом центре Х которого зафиксированы две плоскости Λm(Х), Ln-m-1(Х) такие, что выполняются соотношения:
[Λm(Х), Ln-m-1(Х)]=Hn-1(Х), Λm(Х)∩ Ln-m-1(Х)=Х .
Присоединим к образующему элементу H-распределения проективный репер R0={A0, AI} следующим образом: Х≡A0,{Аi}
Λ(A0), Аα 
L(A0), Аn 
Нn-1.
В репере R0 H-распределение задается следующим образом:
(1)
Функции, стоящие в правых частях равенств, вообще говоря, являются несимметричными по нижним индексам.
Совокупности функций Г1=
, Г2=
образуют фундаментальные объекты [2] 1-го и 2-го порядка H-распределения. Продолжения уравнений (1) вводят в рассмотрение фундаментальные объекты более высоких порядков Г1ÌГ2ÌГ3ÌГ4Ì. Имеет место теорема существования H-распределения [1]:
Теорема 1. В n-мерном проективном пространстве в репере R0 гиперплоскостное скомпонованное распределение задается с произволом (2m+1)(n-m-1)+m функций от n аргументов.
§ 2. Построение полей геометрических объектов H—распределения в дифференциальной окрестности первого порядка
В дальнейшем будем рассматривать H-распределение, для которого в каждом центре А0 плоскость Ln-m-1 сопряжена с плоскостью Λm относительно главного фундаментального тензора, т.е. выполняются условия
(2)
В этом случае компоненты тензора 
будут иметь следующее строение:
Мы рассматриваем регулярное H-распределение [8], для которого тензор 
невырожденный, т.е. 
(3)
Следовательно, в силу (3) для тензора первого порядка введём обращённый ему тензор 
[3], удовлетворяющий следующим соотношениям и уравнениям:
Аналогично, для соответствующих главных фундаментальных тензоров 
— ,L-, подрасслоений 
вводим обращённые им соответствующие тензоры 
, такие, что
Следуя работе Остиану Н.М. [6] вводим соответсвия Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода соответсвенно Н-,Λ-, L- подрасслоений:
где
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
С учетом условий (2) уравнения (1) примут вид:
(7)
Введём нормализацию в смысле Нордена [5] для Λ-подрасслоения.
Определение. Λ-подрасслоение назовем нормализованным в смысле Нордена, если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей первого рода Nn-m и нормалей второго рода N m-1 :
(а) 
(b) (8)
причём в каждом центре А0 нормаль первого рода Nn-m=[A0, Aα,Xn] проходит через плоскость Ln-m-1ÌH(A0).
Условие инвариантности нормали Nn-m, где
, приводит к соотношению (8а). Если потребовать, чтобы прямая h=[A0,Xn] была инвариантной, то кроме (8а) получим условие
(9)
Уравнения (9) выполняются, если охват объекта {
} осуществить с помощью квазитензора 
: 
. В дальнейшем считаем, что прямая h=[A0,Xn], где 
, инвариантна. Нормаль второго рода Nm-1 плоскости Λ(А0) задаётся точками 
, где функции 
удовлетворяют уравнениям (8b). Если охваты квазитензоров осуществить по формулам
где 
то к Λ-подрасслоению в дифференциальной окрестности первого порядка внутренним образом присоединяется нормализация в смысле Нордена 
.
Рассмотрим функции 
, удовлетворяющие уравнениям
Эти уравнения определяют поле нормалей второго рода для L-подрасслоения. В силу биекции (5) полю нормалей второго рода соответствует поле нормалей первого рода L-подрасслоения в дифференциальной окрестности первого порядка:
Введём нормализацию в смысле Нордена [5] для L-подрасслоения.
Определение. L-подрасслоение назовем нормализованным в смысле Нордена [5], если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей первого рода Nm+1 и нормалей второго рода Nn-m-2 :
,
причём в каждом центре А0 нормаль первого рода Nm+1=[A0, Ai,Xn] проходит через плоскость ΛmÌH(A0).
В силу биекции (6) полю нормалей 1-го рода {
}(
) соответствует поле нормалей 2-го рода L-подрасслоения:
.
Функции 
удовлетворяют уравнениям
. (*)
Следовательно, квазитензор {
} в каждом центре А0 определяет нормаль второго рода для L-подрасслоения. В силу биекции (6) полю нормалей 2-го рода (*) соответствует поле нормалей 1-го рода L-подрасслоения в дифференциальной окрестности первого порядка:
Теорема 2. В дифференциальной окрестности первого порядка H-распределение внутренним образом порождает нормализации 
L-подрасслоения и нормализации (
), (
), L-подрасслоения в смысле Нордена.
Квазитензоры 
функционально независимы, поэтому они определяют пучок нормалей первого рода Λ-подрасслоения и по биекции (5) пучок нормалей 2-го рода:
, 
. (10)
Аналогично, для L- подрасслоения получим пучок нормалей 1-го рода и по биекции (6) получим пучок нормалей 2-го рода
,
(11)
Совокупности функций 
, определяют поля нормалей 1-го рода Н-подрасслоения:
(12)
Поля (12) в силу биекции (4) порождают поля нормалей второго рода Н-подрасслоения:
(13)
Построенные поля (13) порождают пучки нормалей 1-го и 2-го рода Н-подрасслоения:
, 
. (14)
Теорема 3. В дифференциальной окрестности первого порядка H-распределение внутренним образом порождает в каждом центре А0 пучки нормалей 1-го и 2-го рода (10), (11), (14) соответственно Λ-, L-, Н-подрасслоений.
§ 3. Квазитензоры и квазинормали H—распределения в дифференциальной окрестности первого порядка
Согласно [4], систему величин 
назовём квазинормалью H-распределения, если при преобразованиях стационарной подгруппы элемента распределения имеем один из следующих законов преобразования :
(15)
где l, µ — постоянные числа, не равные нулю.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
I . Квазинормали и нормали, ассоциированные с L-подрасслоением
Учитывая уравнения (7),(*), построим следующие квазинормали в дифференциальной окрестности первого порядка.
(16)
Один из способов получения инвариантных нормалей 
, 
1-го и 2-го родов H-распределения заключается в нахождении общих нормалей (в общем случае единственных) двух квазинормалей. Например, для L-подрасслоения имеем следующие построения в дифференциальной окрестности первого порядка. Пара 
определяет инвариантные нормали
В дальнейшем это соответствие будем обозначать следующим образом:
а. 
,
б. 
,
в. 
,
г. 
,
д. 
,
е. 
.
Теорема 4. В дифференциальной окрестности 1-го порядка H-распределение внутренним инвариантным образом порождает шесть нормализаций 
L-под-расслоения.
II . Нормализации, ассоциированные с L-подрасслоением H—распределения
В силу уравнений (7) получаем следующие дифференциальные уравнения квазинормалей L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка:
(17)
Квазинормали (17) порождают следующие пары нормалей 1-го и 2-го рода L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка:
а. 
б. 
в. 
г. 
,
д. 
е. 
Итак, справедлива
Теорема 5. В дифференциальной окрестности 1-го порядка H-распределение внутренним инвариантным образом порождает шесть нормализаций 
L-подрасслоения.
§ 4. Построение квазинормалей и нормалей основных структурных подрасслоений в дифференциальной окрестности второго порядка
I . Так как L-подрасслоение невырождено, тогда
(18)
Дифференцируя (18), получим
, (19)
где 
.
Продолжение уравнения (19) с учетом (7) приводит к уравнениям
. (20)
Отсюда при K=i, в частности, получаем уравнение
,
которое при фиксации центра А0 H-распределения примет вид
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(21)
Таким образом, совокупность функций
, 
определяет в дифференциальной окрестности второго порядка квазинормаль, ассоциированную с L-подрасслоением. Полагая К=
, из (20) получаем
. (22)
Введём в рассмотрение функции
(23)
которые в силу (22) при фиксации центра А0 H-распределения удовлетворяет уравненям
. (24)
Из (24) следует, что совокупность функций 
есть квазинормаль 2-го порядка L-подрасслоения.
II . Аналогично п.1, учитывая, что L-подрасслоение невырождено, т. е.
, (25)
и дифференцируя (25), получим
, (26)
где 
.
Продолжая уравнения (26) с учетом (7), получим
. (27)
Из (27) при К=i, К=α находим
, (28)
. (29)
Функции
, 
(30)
при фиксации точки А (центра H -распределения) в силу соответственно (28),(29) удовлетворяют уравнениям
, (31)
. (32)
Согласно определению (15) из (31),(32) следует, что совокупности функций {
},{
} образуют квазинормали в дифференциальной окрестности 2-го порядка, ассоциированные соответственно с Λ- и L- подрасслоениями.
III . Используя квазинормали (17) и (21), (31), вводим нормализации Λ- подрасслоения, при условии, что тензор неголономности 
равен 
(33)
С помощью квазинормалей (17),(21),(28) находим в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля нормалей 2-го рода внутренним образом присоединенных к L-подрасслоению:
(34)
Функции (34) удовлетворяют уравнению типа 
.
По биекции Бомпьяни-Пантази (5) для нормалей (34) 2-го рода получаем соответственно нормали 1-го рода Λ — подрасслоения:
Теорема 6. H-распределение в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом порождает два поля нормализаций 
L-подрасслоения, если тензор неголономности равен нулю т.е. 
и шесть полей нормализаций в смысле Нордена 
, если 
IV . Если тензор неголономности L-подрасслоения 
равен 
, то можно, используя квазинормали 
, 
, , построить нормализации 
,
L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка:
Если тензор неголономности L-подрасслоения 
то нормалям 2-го рода
(35)
в биекции Бомпьяни-Пантази (6), соответствуют нормали 1-го рода L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка:
Функции (35) удовлетворяют уравнению типа 
.
Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка H-распределение внутренним образом порождает две нормализации L-подрасслоения 
если тензор неголономности L-подрасслоения равен нулю, и шесть нормализаций в смысле Нордена 
, если 
Список литературы:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
1.Будылкин А.А. Естественные и математические науки в современном мире. г. Новосибирск, — 2015, — № 2(26), — с. 24—33.
2.Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос. Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу — 1950. — Вып. 8. — С. 197—272.
3.Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований. Тр. Моск. мат. об-ва. — 1953. — Т. 2. — С. 275—382.
4.Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. Тр. Геометрического семинара. ВИНИТИ. — 1971, — Т. 3, — с. 49—94.
5.Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. — 432 с.
6.Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. Тр. Геометрического семинара. ВИНИТИ. — 1973, — Т. 4, — с. 7—70.
7.Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. Монография. Санкт-Петербург. Из-во С-Петербургского университета, 1972. — 172 с.
8.Попов Ю.В., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространства. К-д, 2011. Учебное пособие, из-е 2-ое, БФУ им. Иммануила Канта, — 122 стр.
9.Cтоляров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов. В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., — 1975, — Т. 7, — с. 117—151.