ABSTRACT
This work is devoted to the study of Carleman boundary value problem in fractional Bessov space imbedded into space of continuous functions but not embedded into category of Holder-continuous functions. A complete solution by an integral equation method has been deduced using integral of Cauchy type properties according to a closed Lyapunov contour and embedding theorems.
Ключевые слова: краевая задача Карлемана; сингулярное интегральное уравнение; интеграл типа Коши; вполне непрерывный оператор; дробное пространство; метод интегральных уравнений.
Keywords: Carleman boundary value problem; singular integral equation; integral of Cauchy type; completely continuous operator; fractional space; integral equation method.
Введение. Теория непрерывных краевых задач со сдвигом в классической постановке имеется в монографиях Ф.Д. Гахова [7], Н.И. Мусхелишвили [17] и Г.С. Литвинчука [13].
Полное решение краевой задачи Газемана, а также четырех других основных краевых задач со сдвигом, кроме задачи типа задачи Карлемана, было дано Д.А. Квеселава в 1946—1948 гг. методом интегральных уравнений. Результаты исследований Д.А. Квеселава опубликованы в статьях [9—12]. Указанные работы Д.А. Квеселава сыграли решающую роль в дальнейшем развитии исследований по теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений со сдвигом.
В 1958 г. Г.Ф. Манджавидзе и Б.В. Хведелидзе [15] доказали теорему склеивания и установили конформную эквивалентность краевой задачи Газемана краевой задаче Римана. При этом в работе [15] было использовано дополнительное условие: существование второй производной сдвига 
, удовлетворяющей условию Гельдера. В 1964 г. И.Б. Симоненко [18] дал новое обоснование конформной эквивалентности краевой задачи Газемана краевой задаче Римана, свободное от указанного выше дополнительного ограничения.
Проблема распространения результатов работ [11], [12] и [14] на случай многосвязной области привела В.А. Чернецкого [21], [22] к обоснованию комбинированного метода интегральных уравнений и конформного склеивания, который был впоследствии применен в монографии [13]. Центральное место в этом методе занимает, так называемая, теорема конформного склеивания [13, с. 149]. Первое доказательство этой теоремы для случая аналитического сдвига , заданного на единичной окружности, дали с помощью вариационного метода теории однолистных функций М. Шеффер и Д. Спенсер [25] [8]. Теорию задачи Карлемана для доказательства отмеченной теоремы первым применил Юн Эр-Цзянь [26]. Ему удалось снять требование аналитичности и заменить это требование обычным условием существования у функции сдвига отличной от нуля гельдеровской производной первого порядка. Полное обоснование доказанной теоремы дано В.А. Чернецким [21], [22]. В этих работах обобщены и уточнены результаты Юн Эр-Цзяня и установлена конформная эквивалентность задачи Карлемана на 
задаче Римана на разомкнутом контуре 
. Последний результат независимо от В.А. Чернецкого был получен также Л.И. Чибриковой в работе [23].
Различные обобщения краевых задач со сдвигом в направлении расширения классов искомых и заданных функций и контуров можно найти в работах [1], [16], [19], [20], [24].
В основе исследования основных, а также других краевых задач со сдвигом в классическом случае лежит метод конформного склеивания, описанный в [7]. В результате конформного отображения краевая задача со сдвигом сводится к краевой задаче без сдвига, в частности, краевая задача Газемана сводится к краевой задаче Римана. С помощью метода конформного склеивания удается получить числа решений и условий разрешимости указанных задач, либо точные оценки для этих чисел. Хотя метод склеивания является наиболее экономным способом построения качественной теории основных краевых задач со сдвигом на плоскости, эта же цель может быть достигнута также применением метода интегральных уравнений. Этим, однако, не исчерпывается значение последнего метода. Этот метод дает также алгоритмы для нахождения решений и условий разрешимости краевых задач. По этой причине для решения задач Газемана и Карлемана мы будем следовать методу интегральных уравнений, предложенному Д.А. Квеселава [9]. Второй и основной причиной применения нами метода интегральных уравнений при решении указанных выше задач в дробных пространствах является тот факт, что при конформном отображении областей 
и 
на некоторые области ∆+ и ∆-, на которые плоскость разделяется контуром , являющегося образом исходного контура , новый контур не является контуром Ляпунова. К настоящему моменту задача Римана в дробных пространствах Бесова решена лишь для случая, когда контур является замкнутым контуром Ляпунова. В случае же внешней краевой задачи Карлемана в дробных пространствах при конформном отображении область переходит на плоскость ∆ с разрезом вдоль простой разомкнутой дуги ; насколько нам известно, задача Римана для разомкнутого контура в дробных пространствах до сих пор не рассмотрена. Отметим, что краевая задача Газемана, которая по-другому называется краевой задачей Римана со сдвигом, полностью решена нами в дробных пространствах Бесова методом интегральных уравнений [2].
В настоящей работе рассмотрим внешнюю краевую задачу Карлемана в дробных пространствах Бесова (определения этих пространств см., напр. [5]) и для удобства приведем без доказательства следующие результаты, которыми часто будем пользоваться в дальнейшем.
Лемма А [5, с. 353]. Пусть 
и замыкание 
ограниченной области 
пространства 
точек 
взаимно однозначно отображается на замыкание 
области 
пространства 
точек 
при помощи отображения 
, определяемого функциями
принадлежащими классам 
, где
при нецелом 
,
при целом , (А1)
С якобианом
где 
.
Тогда:
1. Функция 
oт 
интегрируема в 
-й степени на (при 
ограничена) и имеет частные производные по 
порядков 
, вычисляемые почти всюду на по тем же правилам, как если бы 
имела непрерывные частные производные по 
.
При этом
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
2. Функция 
и
где: 
— константа, зависящая от 
, полунормы 
и 
,
— число, определяемое в (А1).
В этом утверждении можно всюду заменить 
на 
(
), однако в предложении, что 
, где (вместо (А1))
, 
.
Лемма В [6, с. 61]. Пусть 
, 
, 
, где 
удовлетворяют одному из условий a)—c):
Пусть выполнено условие 
. Тогда интеграл типа Коши
(В1)
принадлежит пространству 
, 
и
,
где постоянная 
не зависит от 
.
Следствие В.1. В условиях леммы интеграл типа Коши (В1) имеет граничные значения слева 
и справа 
, принадлежащие 
, причем
,
где постоянная не зависит от . Из этого, в частности, следует справедливость формул Сохоцкого-Племеля.
Следствие В.2. В условиях леммы сингулярный оператор
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
, 
понимаемый в смысле главного значения по Коши, ограничен в ,
,
где постоянная не зависит от .
Для рассматриваемых нами пространств имеют место вложения
2. Постановка задачи. Пусть — простой гладкий замкнутый контур класса Ляпунова 
, 
, 
и разбивает плоскость комплексного переменного на две области: внутреннюю , содержащую начало координат, и внешнюю , содержащую бесконечно удаленную точку. Требуется определить функцию 
, аналитическую в , удовлетворяющую на контуре краевому условию
, (1)
где 
и 
— заданные на контуре функции класса Бесова 
,
, причем 
всюду на . Функция 
переводит контур взаимно однозначно в себя с изменением направления в нем, а также имеет производную 
, , отличную от нуля в точках . Предполагаем, что выполняется условие Карлемана
. (2)
Как увидим ниже, краевое значение 
искомой аналитической функции также принадлежит 
, . Из следует, что 
. Тогда согласно лемме А 
, .
Заменяя в краевом условии (1) 
на 
, получим в силу условия (2)
. (3)
По лемме А 
и 
принадлежат , . Исключая из (1) и (3) предельное значение 
, получим
. (4)
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Соотношение (4) будет удовлетворяться в двух случаях:
1) Выражение 
, , есть краевое значение аналитической в функции. В этом случае искомая функция определится по своему краевому значению интегралом Коши
и по лемме В 
.
2) Соотношение (4) вырождается в тождество. Следовательно,
В дальнейшем будем решать задачу (1) в предположении, что условия (5) и (6) выполнены.
Заметим, что функции
где 
и 
— любые функции из , , причем 
, удовлетворяют условиям (5) и (6). Действительно, по лемме А 
, , 
, и в силу этого и условия (2)
3. Интегральные представления. Рассмотрим сначала тот случай, когда краевое условие (1) имеет вид
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
, 
. (7)
Из условия (2) следует, что для разрешимости краевой задачи (7) необходимо, чтобы
.
Аналитическое в решение задачи (7) будем искать в виде
, (8)
где: 
— функция из класса , , причем
, (9)
где: — произвольная постоянная. Учитывая условие (9), по формулам Сохоцкого-Племеля, справедливость которых в классах Бесова доказана Н.К. Блиевым [6, с. 64], из (8) будем иметь:
Приведем соответствующие выкладки:
В последнем интеграле сделаем подстановку 
, затем переменную 
снова обозначим 
. Учитывая, что сдвиг меняет направление на контуре, а также условие (9), имеем:
Последний интеграл существует в смысле главного значения по Коши и равен 
. В самом деле, учитывая, что контур интегрирования, во всяком случае, гладкий, и сдвиг меняет направление на 
, получим:
(см. также [7, с. 29]). Объединив (11), (12) и (13) получим второе из равенств (10).
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Подставляя (10) в краевое условие (7), получим интегральное уравнение
Интегральный оператор 
вполне непрерывен в , [2], [3], [4], т. е. ядро 
может быть представлено в виде отношения 
. Следовательно, уравнение (14) есть уравнение Фредгольма.
Лемма 1. Однородное уравнение 
имеет своим нетривиальным решением только произвольную постоянную.
Доказательство. Пусть 
функция обратная . Легко показать, что свойства аналогичны свойствам . Произвольная постоянная удовлетворяет уравнению . Действительно, пусть 
. Тогда примет вид
.
В самом деле, учитывая (13) имеем:
Пусть теперь — произвольное решение интегрального уравнения . Построим две функции 
и 
, аналитические в :
где функция, обратная к функции сдвига , 
по лемме А, а 
и согласно лемме В принадлежат пространству 
.
Используя формул Сохоцкого-Племеля, будем иметь:
Отсюда сначала с помощью замены переменной интегрирования 
и переобозначив 
через , а также учитывая, что обратный гомеоморфизм контура на себя и функция, обратная к функции сдвига , получим
.
Далее рассмотрим разность
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
и увидим, что
в силу интегрального уравнения . Это означает, что функции и удовлетворяют на краевому условию
. (15)
Из работы [10] известно, что если аналитическое в функции 
и 
удовлетворяют краевому условию (15), то 
. Учитывая, что ввиду представимости интегралами типа Коши функции 