ABSTRACT
The steady vibrations of two-layer packet caused by vibration of internal inclusions are cconsidered. Method of fictitious absorption to the solution of integral equations of dynamic problems is presented on the example of the integral equation of antiflat problem. System of derivatives Dirac’s 
-function is chosen as a basic system.
Ключевые слова: eстановившиеся колебания; жесткое включение; метод фиктивного поглощения; скачек напряжений
Keywords: steady vibration; rigid inclusion; method of fictive absorption; stress jump
Слоистые системы со скачкообразно меняющимися свойствами вдоль одной из координат широко используются для создания композиционных материалов. Особый интерес вызывают исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных структур, упрочненных армирующими элементами.
В работе исследуется задача о вибрации пакета из двух упругих слоев, содержащих жесткое включение на границе раздела слоев. С целью упрощения представления решения интегральных уравнений на примере антиплоской задачи рассматривается модификация метода фиктивного поглощения в части подбора базисных функций.
В прямоугольной декартовой системе координат, где плоскость x1Оx2 параллельна поверхности среды (, 
), рассматривается установившийся процесс колебаний, т. е. зависимость всех неизвестных и заданных функций от времени определяется множителем 
. Механические свойства каждого из слоев описываются плотностью 
и упругими параметрами Ляме 
соответственно, 
. Смещения составляющих пакета описываются векторами 
, удовлетворяющими уравнениям Ляме, напряжения на граничных поверхностях обозначены через 
.
Для построения интегрального уравнения задачи используется дифференциальный метод факторизации [4, 5]. На стыках слоев-блоков в области, занятой включением, смещение считается заданным, ставится условие равенства перемещений на берегах включения, на остальной части границы раздела ставится условие идеального контакта, то есть равенства смещений и контактных напряжений. Верхняя граница пакета свободна от напряжений, нижняя — жестко закреплена на недеформируемом основании. Сформулированные условия можно записать в виде
.
, ;
Дифференциальный метод факторизации позволяют построить интегральные уравнения динамических задач для слоисто-структурированных сред с дефектами типа включений [6]. Для решения последних может быть применен метод фиктивного поглощения [2, 3]. В рассматриваемом случае, когда блоки вырождаются в слои с плоскопараллельными границами, изложенный в [4] алгоритм приводит к решениям, совпадающим с получаемыми путем применения интегральных преобразований по координатам, лежащим в граничной плоскости [7].
Интегральное уравнение антиплоской задачи о вибрации жесткого включения в двухслойном пакете при одной отличной от нуля составляющей скачка напряжений, имеющей носитель 
, запишется
, 
, (1)
. (2)
Здесь функция 
имеет следующий вид:
,
где 
, 
, 
, 
— коэффициент Пуассона k-го слоя, .
Согласно схеме метода фиктивного поглощения функция может быть представлена как 
. Выбор функции 
определяется асимптотическим представлением символа ядра и возможностью ее непосредственной факторизации. Далее выбирается 
, 
. Функция 
приближается рациональной функцией вида
, где 
— нули, 
— полюса функции .
Согласно схеме метода фиктивного поглощения вводится новая неизвестная функция p соотношением 
, где 
— некоторая функция, содержащая неизвестные на размерность меньше, чем размерность . При этом требуется разложить функцию 
по любой полной линейно независимой системе [2, 3]. Вводимая функция в окончательной формуле присутствует лишь под знаком операторов. Поэтому в качестве такой системы можно взять производные от ‑функций Дирака с носителем в точках 
и a [1, 3]. В результате функцию 
можно представить в виде
, (3)
где 
, 
, 
— неизвестные константы, подлежащие определению.
Окончательное решение уравнения (1) с правой частью 
с точностью до множителя 
(C — константа, характеризующая поведение функции при 
) запишется в виде
(4)
.
Здесь приняты обозначения
, 
.
Введенные 
содержат в себе неизвестные константы
.
Благодаря выбранному виду функции алгебраическая система для определения неизвестных может быть выписана относительно
,
, 
, 
.
Решение интегрального уравнения (1) для произвольной правой части 
находится с помощью (4) в форме
, 
,
где 
— Фурье-образ функции . Контур 
не пересекает особенностей 
.
Метод фиктивного поглощения позволяет использовать весь арсенал методов решения статических смешанных задач, но область применения полученных формул определяется областью применения решений задач для сред с сильным затуханием, использованных при их построении [2, 3].
На рисунке в качестве примера представлены значения вещественной (а) и мнимой (б) частей амплитуды скачка напряжений на включении для случая 
, 
, 
, 
в зависимости от приведенной частоты 
.
a б
Рисунок 1. Вещественные и мнимые части амплитуды скачка напряжения
Список литературы:
1.Бабешко, В.А. Некоторые соотношения для решений двумерных интегральных уравнений типа свертки смешанных задач / В.А. Бабешко, А.В. Павлова. — М., 1987. — 18 с. Деп. В ВИНИТИ 18.08.87, №6022-В87.
2.Бабешко, В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, — 1984. — 265 с.
3.Ворович, И.И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. М.: Научный мир, — 1999. — 248 с.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
4.Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры / В.А. Бабешко [и др.] // ДАН. — 2009. — Т. 424, № 1. — С. 36—39.
5.Евдокимова, О.В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2007. — № 2. — С. 51—55.
6.Павлова, А.В. К решению динамических задач для слоистого полупространства с дефектами / А.В. Павлова, С.Е. Рубцов // Наука технологии: труды XXIV Росс. Школы. М.: Изд. РАН, — 2004. — С. 283—290.
7.Пряхина, О.Д. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова // ДАН. —2006. — Т. 411, № 3. — С. 330—333.