Разнообразие применяемых методов не заменяет необходимости иметь некоторую регулярную основу для систематизации и выбора адекватных методов анализа изображений, единообразного представления обрабатываемых данных (изображений), отвечающих требованиям стандартных алгоритмов распознавания к исходной информации, построения математических моделей изображений, ориентированных на задачи распознавания, и в целом — наличия некоторого универсального языка для единообразного описания изображений и преобразований над ними. В рамках указанной проблемы ведущим направлением стала «алгебраизация» обработки, анализа и распознавания изображений [3, с. 1-19], заключающаяся в разработке и исследовании различных алгебр изображений (АИ). Основной целью алгебраического подхода является построение теоретического аппарата, обеспечивающего представление изображений и преобразований над ними в виде алгебраических структур, позволяющих использовать в анализе и распознавании изображений математические методы [6, с. 518 — 541].
В области распознавания образов и анализа изображений выделяют следующие основные стадии «алгебраизации»: математическая морфология (Г. Матерон (Matheron), Ж. Серра (Serra) [1970-е]); алгебра алгоритмов (Ю.И. Журавлев [1970-е]); теория образов (У. Гренандер (Grenander) [1970-е]); теория категорий в области распознавания образов (М. Павел (Pavel) [1970-е]); АИ (Ж. Серра, С. Стернберг (Sternberg) [1980- е]); стандартная алгебра изображений (САИ) (Г. Риттер (Ritter) [1990-е]); дескриптивная алгебра изображений (ДАИ) (И. Гуревич [1990- е]); ДАИ1К (И. Гуревич, В. Яшина [2002 и далее]).
Разработанный к настоящему моменту времени математический аппарат ДАИ [6, c. 518 — 541] и ДАИ1К [5, с. 298 — 328] обладает рядом недостатков: неудобная терминология формальных обозначений, отсутствие конструктивности в описаниях методов и операций, обобщенное определение операции структуризации, слабая связь семантической и контекстной информации изображений и т. п. В данной статье предлагается формализованный подход к перечисленным проблемам, обеспечивающий удобное описание различных действий над изображениями и связывающее математические аппараты смежных областей в единый универсальный аппарат.
Реализации изображений в ДАИ
Пусть объектом наблюдения является совокупность объектов или процессов действительности, которую будем называть сценой наблюдения или просто сценой. Изображение сцены может быть задано в разных форматах, которые называются его реализациями [6, c. 518 – 541]. Таким образом, изображение 
может быть задано в виде совокупности его реализаций 
, соответствующих бинарным, полутоновым и цветным (полноцветное или палитровое) изображениям:
1. 
, где 
;
2. 
, где 
;
3. 
, где 
.
По умолчанию цветные реализации представляются в полноцветной форме.
Операция структуризации реализаций изображений в ДАИ
К числу операций, проводимых над реализациями изображений, относятся [6, c. 518 – 541]: операция структуризации 
; процедурные преобразования 
и параметрические преобразования 
; Т-представления и Р-представления 
. Далее будут приведены теоретические положения, полученные лично А.Р. Исхаковым в ходе исследований диссертационной работы для операции структуризации, процедурных преобразований и Т-представлений.
Согласно определению моделирования и смысла термина «структуризация», под действием структуризации нужно понимать процесс создания модели сцены в виде изображения, содержащего идеальные формы изображений реальных объектов на сцене. Предлагаются следующие варианты интерпретации операции структуризации : выделение на изображении структурных элементов или сложной структуры и восстановление идеальной формы структурных элементов или сложной структуры. Зафиксированные на изображении «идеальные» структурные элементы в дальнейшем будет удобно использовать в качестве совокупности фактов для системы распознавания посредством логического вывода. В данной работе операция структуризации рассматривается в виде действия ввода в реализацию изображения некоторой структуры через фиксацию в нем структурных элементов. Таким образом, предлагаются следующие варианты интерпретации операции структуризации:
,
где 
, где 
— конечное множество структурных элементов, обычно представляемых геометрическими фигурами на плоскости. Запись 
означает ввод структурного признака 
в исходное изображение 
и получение после этого действия изображения 
. Отдельно можно выделить еще одну форму этой операции:
,
где 
— есть пустой структурный элемент множества 
.
Определенная таким образом операция структуризации обладает важными свойствами для линейной последовательности и иерархической взаимосвязи структурных элементов.
Основное свойство операции структуризации для линейного представления:
Дополнительное свойство структуризации для древовидного представления 
:
, где
есть дерево, заданное множествами вершин 
и дуг 
, а 
— множество, получаемое из множества исключением корня, узлов и повторяющихся листочков.
Процедурные преобразования в ДАИ
Преобразования изображений представляет единственный инструмент преобразования данных одного вида в другой или в тот же самый. Процедурное преобразование согласно определению в себя включает такие распространенные действия над изображением (или группой изображений), как конвертирование из одного формата в другое, фильтрацию шумов в изображении, определение краев и т. п. Таким образом, большинство алгоритмов обработки изображений относятся к группе процедурных преобразований.
Операция конвертации или конвертирования позволяет изменять форму реализации. Современные инструментальные средства позволяют конвертировать полутоновое изображение в бинарное изображение и цветное изображение в полутоновое изображение (или наоборот) [4, с. 517]. Предлагаемый подход обладает рядом преимуществ: ясна природа операции конвертирования, конструктивность определения операции, прозрачность в применении операции, совместимость с другими видами операциями. Операции конвертирования формализовано можно записать следующим образом:
1. пороговое конвертирование полутоновой реализации в бинарную реализацию с порогом 
:
, где 
и 
, т.е. 
или 
.
2. конвертирование цветной реализации (полноцветное изображение) в полутоновую реализацию:
, где 
или 
и 
, т.е. 
или 
.
3. комплексная операция конвертирования цветной реализации (полноцветное изображение) в бинарное бинарную реализацию с отсечением по порогу :
Следовательно,
,
где 
, т.е. 
.
Аналогичным образом можно записывать и процедурные преобразования, использующие операции пространственных линейных и нелинейных фильтраций [1, с. 131; 2, с. 103; 4, с. 532]. Пусть задана полутоновая реализация 
размера 
. Рассмотрим линейные и нелинейные пространственные фильтры и маску размера 
, где 
и a и b – суть неотрицательные целые числа. Отклик в точке 
для реализации обозначим 
. В таком случае он будет определен как 
, где 
— маска размера , 
.
Ясно, что отклик используется для вычисления яркости в точке с координатами . Если же отклик за область определений полутоновой реализации, то применяется техническая операция отсечения. В таком случае уместно будет сказать, что отклик вычисляется с точностью до остатка, т. е.
Тогда процедурное преобразование с операцией фильтрации запишется следующим образом:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
, где
1. для общего случая фильтрации
2. для однородного усредняющего фильтра
3. для сглаживающего фильтра с взвешенным средним
4. для фильтров, основанных на порядковых статистиках (медианный)
, где
— алгоритм сортировки по неубыванию
5. для фильтра повышения резкости с использованием лапласиана
6. для фильтрации с нерезким маскированием
, где
— исходное изображение, а 
— расфокусированное изображение
7. для фильтрации с подъемом высоких частот
, где 
Следующей разновидностью процедурных преобразований являются методы математической морфологии [1, с. 747; 2, с. 351; 4, с. 571]. В данной работе роль базовых морфологических операций играют операции дилатации и эрозии.
Определение [2, с. 354]: Дилатацией множества A по множеству B называется множество 
Определение [2, с. 354]: Эрозией множеств A и B называется множество 
.
Используем для операции дилатации обозначение 
, а для операции эрозии – обозначение 
, где 
, 
.
Аналогично можно определить операции замыкания и размыкания [2, с. 354]:
и 
В ходе исследований было сформулировано и доказано утверждение.
Утверждение (об эквивалентности логических и алгебраических операций): Для процедурных преобразований бинарных реализаций на базе морфологических операций дилатации и эрозии выполняются следующие равенства:
,
где 
.
Доказательство: Эти равенства будут выполнены, если маски левых и правых частей равенства будут совпадать, т. е.
, для любых 
и 
Итак, рассмотрим первое равенство. Для левой части этого равенства верно
,
где 
(1)
Для правой части этого равенства верно 
,
где 
(2)
При определении операций, как в (1) и (2) верно неравенство 
. Это означает, что, если определить (2) как
(3),
то будет выполняться равенство 
для любых и .
Аналогично можно доказать второе равенство: 
Пусть маски определены следующим образом:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
(4)
и 
(5)
Равенство 
нужно рассматривать для двух случаев, в силу сложности самих операций. Пусть, для первого случая 
,
Следовательно, так как , то 
и 
.
Если же 
, то согласно (5) 
и
, т.е.
, в силу того, что 
.
Т-представления в ДАИ
Представление изображения применяется при создании формальной схемы, предназначенной для получения описания изображения сцены в терминах структурных элементов. В алгебраическом подходе к анализу и обработке изображений И.Б. Гуревича определяются Т-, Р- и G-представления [6, с. 518 — 541]. T-представления позволяют решать задачи обработки и преобразования изображений. Сформулируем математические модели Т-представлений для рассмотренных выше процедурных преобразований.
Обобщенная математическая модель Т-представления с операциями порогового конвертирования с произвольной реализации 
в бинарную реализацию 
с последующей фиксацией структурных элементов будет иметь вид:
,
где 
.
Математическая модель Т-представления с операциями пространственной фильтрации с ядром ранга 
и структуризацией элементов 
имеет вид:
Аналогичным образом можно записать и математическую модель Т-представления с использованием операций математической морфологии. Например, математическую модель Т-представления с морфологической операцией размыкания и операцией структуризации последовательности элементов в бинарной реализации имеет вид:
Заключение
В данной статье приведены теоретические положения, полученные А.Р. Исхаковым в ходе исследований по диссертационной работе. В число основных результатов, описанных в статье, входят: формализованное определение операции структуризации с ее основным и дополнительным свойствами, математические модели процедурных преобразований на основе операции конвертирования, линейной и нелинейной операций фильтрации, морфологических операций дилатации, эрозии, замыкания и размыкания. Для морфологических операций сформулировано и доказано утверждение «об эквивалентности логических и алгебраических операций». Эти результаты имеют важное значение для развития и обобщения алгебраического подхода к обработке, анализу и распознаванию изображений.
Список литературы
1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений, 2005
2. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде Matlab. М.: Техносфера, 2006
3.Гуревич И.Б., Журавлев Ю.И., Сметанин Ю.Г. Дескриптивные алгебры изображений: определения и примеры // Автометрия.-1999.-No.6.-С. 1 -19.
4. Дьяконов В., Абраменкова И. Matlab: обработка сигналов и изображений, 2002
5. I.B. Gurevich, V.V. Yashina. Operations of Descriptive Image Algebras with One Ring // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. Pleiades Publishing, Inc. 2006. – Vol.16,No. 3.-pp. 298-328.
6. I.B. Gurevich and V.V. Yashina. Descriptive Approach to Image Analysis: Image Models // Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. – MAIK «Nauka/Interperiodica»/Pleiades Publishing, Inc., 2008. — Vol.18, No.4. — P. 518-541.