ABSTRACT
In the article the secret of «a challenging task” the author examines the characteristics of Rachinskiy’s sequence of numbers and similar sequences.
Ключевые слова: Рачинский, последовательности.
Keywords: Rashinskiy; sequences.
В конце XIX века живописец-жанрист Н.Б. Богданов-Бельский (1868—1945) написал картину «Трудная задача». Мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. На ней изображена группа учеников сельской школы, задумавшихся над решением в «уме» задачи С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. На доске написано:
Действительно, нелегкая задача для быстрого решения в «уме», если не знать «секрета». А «секрет» очень прост. Дело в том, что 
и 
. Следовательно, искомый ответ 2.
Обратим внимание на другое. Из сопоставления выше написанных равенств следует, что 
, то есть сумма квадратов нескольких последовательных чисел, равна сумме квадратов следующих чисел. Число слагаемых в левой части равенства только на одно больше, чем в правой. (Заметим, что 
).
Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел более широко:
1. Имеются ли, кроме чисел 3 и 4, другие два последовательные числа, сумма квадратов которых была равна квадрату следующего за ними числа, а кроме чисел 10, 11, 12, другие три последовательных числа, сумма квадратов которых была бы равна сумме квадратов двух непосредственно за ними следующих чисел?
2. Можно ли образовать равные суммы квадратов последовательных натуральных чисел, состоящие из четырех и трех слагаемых, из пяти и четырех слагаемых и вообще из 
и 
возрастающих слагаемых? [1. с. 198].
Ответ на эти вопросы можно найти в решении такой вполне доступной задачи:
Найти последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих чисел. Обозначив через 
первое из искомых чисел, имеем уравнение: 
. Раскрыв скобки и сделав упрощение, получаем 
или 
. Отсюда 
, 
.
Получаем два ряда чисел, обладающих требуемым свойствам: 3, 4, 5, и -1, 0, 1.
В самом деле и 
.
Теперь решим такое уравнение 
. Имеем: 
или
. Отсюда 
. Существует два ряда чисел, обладающих требуемым свойством; ряд Рачинского 10, 11, 12, 13, 14 и ряд -2, -1, 0, 1, 2. В самом деле 
.
Рассмотрим уравнение 
. Раскрыв скобки получаем:
или 
. Имеем два ряда чисел; 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 и -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
и 
. На два первых вопроса получили утвердительный ответ. Как уже заметили, эти последовательности являются арифметическими прогрессиями с разностью 1. Возникает вопрос: существуют ли другие последовательности с разностью 2, 3, 4. и т. д., обладающие требуемым свойством?
Решим уравнение 
.
, 
.
=
, 
Если 
. Имеем ряд 3, 4, 5: .
. Имеем ряд 6, 8, 10: 
.
. Имеем ряд 9, 12, 15: 
.
. Имеем ряд 12, 16, 20: 
и т. д.
Если 
, тогда имеем 1, 0, -1: 
.
, тогда имеем 2, 0, -2: 
.
, тогда имеем -4, 0, 4: 
и т. д.
Рассмотрим такое уравнение:
.
Имеем:
Или
=
,
Если 
Тогда имеем ряды 20, 22, 24, 26, 28 и -4, -2, 0,2,4.
=
, 
=
.
На этот вопрос мы тоже можем ответить утвердительно. Существует бесконечное множество последовательностей, отвечающих требуемому условию.
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Теперь поставим такой вопрос. Существуют ли последовательности обладающие таким же свойством, где в левой части количество слагаемых больше чем в правой на 2, 3, 4 и т.д.?
Тогда наши уравнения в общем виде выглядят таким образом:
=
слагаемых
слагаемых, где 
.
Решая и анализируя много уравнений я установил, что коэффициенты квадратного уравнения 
, к которому приводится данное уравнение, имеют следующий вид: 
;
. Это для последовательности, где 
. В общем виде:
), 
. По этим формулам мы легко можем составить квадратное уравнение для любых 
Составим несколько уравнений для 
Пусть 
.
. Получаем уравнение 
. Если 
. Уравнение имеет вид 
.
Если 
. Уравнение принимает вид 
и т.д.
Пусть 
.
.Уравнение принимает вид
.
Пусть 
.
. Уравнение имеет вид
.
Пусть 
.
. Уравнение принимает вид
.
Дискриминанты этих квадратных уравнений при любых 
и 
являются точными квадратами. Составим несколько уравнений при 
.
Пусть 
.
. Уравнение принимает вид
.
Пусть 
Тогда 
.
. Уравнение принимает вид
.
Составим уравнение при 
, 
тогда 
.
. Уравнение принимает вид 
.
, тогда 
.
. Уравнение принимает вид 
.
Заметим, что при любых 
уравнение имеет вид 
=0.
Уравнения получаемые при не имеют решения в целых числах. Вернее, мне не удалось найти уравнение, где дискриминант был бы точным квадратом.
Существуют ли последовательности, где число слагаемых в левой части больше числа слагаемых в правой на 2 и 3 и т. д., и обладающим вышеуказанным свойством? Этот вопрос остается открытым.
Теперь рассмотрим последовательности, получаемые при .
Эта пирамида обладает интересными свойствами.
1. Разность сумм слагаемых в левой и правой частях равна половине числа, равноудаленного от концов последовательности 
и т. д.
2. Число в середине последовательности равно удвоенному произведению числа слагаемых в левой и правой частях.
3. Сумма чисел в середине двух соседних последовательностей пирамиды является точным квадратом.
4. Дискриминанты уравнений, получаемых при 
являются точными квадратами и равны квадрату удвоенного треугольного числа 
, то есть квадрату половины числа в середине последовательности.
«Секрет» Трудной задачи поставил перед нами еще более трудную задачу: при каких натуральных 
, число
является точным квадратом?
Список литературы:
1.Перельман Я.Н. Занимательная алгебра. М.: АСТ; Астрель; Аст М., 2009 — с. 289.