ABSTRACT
The problem of control can be solved by various methods. In this paper, state function and control function are defined in the polynomial form along degree of parameter 
with additional summand.
Ключевые слова: управление; функция состояния; функция управления; многочлен.
Keywords: control; state function; control function; polynome.
Рассмотрим задачу об управлении вибратором для внедрения в грунт сваи, на которую действует сила, вырабатываемая быстрым управляемым вибратором [2]. Динамика быстрого управляемого вибратора имеет вид:
, (1)
, (2)
где: 
– управление,
– малый параметр,
– коэффициент трения, причем 
. Текущие расходы
энергии вибратора 
описываются уравнением
. (3)
Динамика материальной точки имеет вид
, (4)
, (5)
где: 
– вертикальная координата точки,
– гармоническая вынуждающая сила с большой частотой, создаваемая вибратором,
– ускорение свободного падения,
– сила трения, пропорциональная 
– скорости точки,
– коэффициент пропорциональности.
Заданы следующие условия
, (6)
. (7)
Нужно проверить условие управляемости и найти управляющую функцию 
и функции состояния задачи 
.
Сначала мы рассмотрим систему:
. (8)
В матричной форме эта система запишется так:
,
где
Для неё сначала мы проверим условие управляемости, т. е. выполнение условия критерия Калмана.
Построим матрицу 
. Получим:
Так как 
, то 
, т. е. условие управляемости выполнено. Теперь мы решаем систему уравнений (8) с условиями (6), (7).
Пусть 
имеет вид:
. (9)
Из уравнения 
следует:
. (10)
Из уравнения 
получаем:
Из условием (7) и уравнений (9), (10) получаем систему уравнений:
с неизвестными 
. Эта система, содержащая 3 уравнения с 6 неизвестными, всегда имеет решение. Мы можем выразить 
через 
и получаем:
Подставив величины 
в уравнения (9), (10), мы получаем выражение функций 
. И, конечно, мы можем найти 
.
Поставив величины 
в уравнение (5), получаем функцию 
, которая имеет вид: 
Конечно, выражение удовлетворяет условиям: 
и 
.
Из уравнения (1) мы получаем выражение функции 
.
Из условий 
и 
следует система уравнений:
где 
неизвестны.
Эта система, содержащая 2 уравнения с 3 неизвестными, всегда имеет решение.
Мы можем выразить a, b через c:
Подставим величины a, b в выражения 
. Тогда функции 
имеют вид:
И, конечно, мы можем найти функцию 
, которая имеет вид:
С найденными функциями 
, 
и уравнением (2) определяется функция 
, имеющая вид 
. После этого из уравнения (3) следует: 
. Таким образом, все требуемые функции найдены.
Список литературы:
Нужна помощь в написании статьи?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976. – 424 с.
Колпакова Е.А., Субботина Н.Н. Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущенных задач вибрационной механики // Автоматика и Телемеханика. – 2007. – № 11. – C. 150–163.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982. – 329 с.
Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления. – М.: Наука, 1980. – 376 с.